Question

如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，A在B的正東方向，BP=3

3

（單位：km）有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．
（1）求A、B兩個觀測站之間的距離；
（2）小船從點P處沿射線AP的方向以

3

千米/時的速度進行沿途考查，航行一段時間后到達點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向，求小船沿途考察的時間．（結(jié)果有根號的保留根號）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-方向角問題

專題：

分析：（1）過點P作PD⊥AB于點D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長，然后根據(jù)BD+AD=AB，即可求解；
（2）過點B作BF⊥AC于點F，先解Rt△ABF，得出BF和AF的長，再解Rt△BCF，得出CF的長，可求PC=AF+CF-AP，從而求解．

解答：解：（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=

3 6

2

km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=

3

PD=

9 2

2

km，PA=3

6

．
∴AB=BD+AD=（

3 6

2

+

9 2

2

）km；

（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F．
根據(jù)題意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=（

3 6

4

+

9 2

4

）km，AF=

3

2

AB=（

9 2

4

+

9 6

4

）km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴CF=BF=（

3 6

4

+

9 2

4

）km，
∴PC=AF+CF-AP=

9 2

2

km．
故小船沿途考察的時間為

9 2

2

÷

3

=

3 6

2

小時．

點評：本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中．通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．