Question

如圖，四邊形OBCD為平行四邊形，OD=2，∠DOB=60°，以O(shè)D為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，N為BC上任意一點(diǎn)（與B、C不重合），過N作直線MN⊥x軸，垂足為A，MN交DC于M，設(shè)OA=t，OMN的面積為S．
（1）求出D、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)和過B、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式．
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及t的范圍．
（3）當(dāng)S=時，試判定直線MN與⊙P的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）由于⊙OP過點(diǎn)B，OD是圓的直徑，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×12=1；DB=OD×sin∠DOB=2×32=3
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（1，3）；則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
如圖所示：連接DB，BP，
由于ODBC是平行四邊形，且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=3，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=3（t-1）
所以MN=AM-AN=3（2-t）
即：△OMN的面積為s=12×MN×OA=12×3（2-t）t=32t（2-t）

（2）由于ODBC是平行四邊形，且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=3，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=3（t-1）
所以MN=AM-AN=3（2-t）
即：△OMN的面積為s=12×MN×OA=12×3（2-t）t=32t（2-t）
又∵點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合
∴t的取值范圍為：1＜t＜2；

（3）當(dāng)s=32t（2-t）=338時，又1＜t＜2，所以t=32
圓心P到MN的距離等于 12（DM+OA）=12×（ 32-1+32）=1=12OD
所以此時直線MN與⊙P相切．
分析：（1）利用圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得出∠DBO=90°，從而求出D的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形OBCD為平行四邊形推得B、C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)ODBC是平行四邊形，且MN⊥x軸于A，然后在Rt△BAN中，利用三角函數(shù)求出AN=tan∠CBA×BA=3（t-1），再根據(jù)點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合，求出t的范圍．
（3）運(yùn)用圓與直線的線切知識，根據(jù)經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線求出直線MN與⊙P的關(guān)系．
點(diǎn)評：本題考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)和直線與圓相切的知識，還涉及平行四邊形的性質(zhì)及切線的性質(zhì)和判定，有一定的綜合性．