
解:(1)由于⊙OP過點B,OD是圓的直徑,所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中,OB=OD×cos∠DOB=2×12=1;DB=OD×sin∠DOB=2×32=3
所以點D的坐標為:D(1,3);則B點坐標為(1,0);C點坐標為(2,3).
如圖所示:連接DB,BP,
由于ODBC是平行四邊形,且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=3,∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中,AN=tan∠CBA×BA=3(t-1)
所以MN=AM-AN=3(2-t)
即:△OMN的面積為s=12×MN×OA=12×3(2-t)t=32t(2-t)
(2)由于ODBC是平行四邊形,且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=3,∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中,AN=tan∠CBA×BA=3(t-1)
所以MN=AM-AN=3(2-t)
即:△OMN的面積為s=12×MN×OA=12×3(2-t)t=32t(2-t)
又∵點N為BC邊上任意一點與點B、C不重合
∴t的取值范圍為:1<t<2;
(3)當s=32t(2-t)=338時,又1<t<2,所以t=32
圓心P到MN的距離等于 12(DM+OA)=12×( 32-1+32)=1=12OD
所以此時直線MN與⊙P相切.
分析:(1)利用圓內接三角形的性質得出∠DBO=90°,從而求出D的坐標,根據四邊形OBCD為平行四邊形推得B、C點的坐標;
(2)根據ODBC是平行四邊形,且MN⊥x軸于A,然后在Rt△BAN中,利用三角函數求出AN=tan∠CBA×BA=3(t-1),再根據點N為BC邊上任意一點與點B、C不重合,求出t的范圍.
(3)運用圓與直線的線切知識,根據經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線求出直線MN與⊙P的關系.
點評:本題考查圓內接三角形的性質和直線與圓相切的知識,還涉及平行四邊形的性質及切線的性質和判定,有一定的綜合性.