Question

如圖，四邊形OBCD為平行四邊形，OD=2，∠DOB=60°，以O(shè)D為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)B，N為BC邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B，點(diǎn)C不重合），過N點(diǎn)作直線MN⊥x軸，垂足為A，交DC邊于點(diǎn)M，設(shè)OA=t，△OMN的面積為S．
（1）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)與直線BC的解析式；
（3）當(dāng)S=時(shí)，試判定直線MN與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：如下圖所示：連接DB，BP，

（1）由于ODBC是平行四邊形，且MN⊥x軸于A
所以AM=BD=，∠CBA=∠DOB=60°
在Rt△BAN中，AN=tan∠CBA×BA=（t-1）
所以MN=AM-AN=（2-t）
即：△OMN的面積為s=×MN×OA=×（2-t）t=t（2-t）
又∵點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合
∴t的取值范圍為：1＜t＜2；

（2）由于⊙OP過點(diǎn)B，OD是圓的直徑，所以∠DBO=90°
在Rt△OBD中，OB=OD×cos∠DOB=2×=1；DB=OD×sin∠DOB=2×=
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（1，）；
設(shè)直線BC為y=kx+b，
∴，∴，
∴直線BC的解析式為：y=-x-．

（3）當(dāng)s=t（2-t）=時(shí)，
又1＜t＜2，∴t=
圓心P到MN的距離=（DM+OA）=×（ -1+）=1=OD，
所以此時(shí)直線MN與⊙P相切．
分析：利用圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得出∠DBO=90°，從而求出D的坐標(biāo)；運(yùn)用圓與直線的線切知識(shí)求出直線MN與⊙P的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了含30度角的直角三角形及圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)和直線與圓相切的知識(shí)，有一定難度，注意熟練掌握各部分知識(shí)并靈活運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵．