Question

【題目】問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．

（1）數(shù)學活動小組經(jīng)過討論形成下列推理，請你補全推理依據(jù)．

如圖2，過點P作PE∥AB，

∵PE∥AB(作圖知)

又∵AB∥CD，

∴PE∥CD．（ ）

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．（ ）

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

問題遷移：

（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

問題解決：

（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD與α、β之間的數(shù)量關(guān)系 ．

Answer 1

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁內(nèi)角互補 （2）∠CPD=∠α+∠β，理由見解析；（3）∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；
（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

解：（1）過點P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作圖知)

又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行 兩直線平行同旁內(nèi)角互補
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）當P在BA延長線時，

過P作PE∥AD交直線CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
當P在AB延長線時，

同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．