【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),其中點(diǎn)A(0,1),B(9,10),AC∥x軸,點(diǎn)P是直線(xiàn)AC下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)。
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB、AC分別交于點(diǎn)E.F,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形AECP的最大面積;
(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí),在直線(xiàn)AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C.P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(1) y= x2x+1;(2) 四邊形AECP的面積最大值是,此時(shí)P(,);
(3) Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1)或(3,1),理由見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中,求b,c;(2)設(shè)P(m,m22m+1),根據(jù)S四邊形AECP=S△AEC+S△APC,把S四邊形AECP用含m式子表示,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解;(3)設(shè)Q(t,1),分別求出點(diǎn)A,B,C,P的坐標(biāo),求出AB,BC,CA;用含t的式子表示出PQ,CQ,判斷出∠BAC=∠PCA=45°,則要分兩種情況討論,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求t.
詳解:(1)將A(0,1),B(9,10)代入函數(shù)解析式得:
×81+9b+c=10,c=1,解得b=2c=1,
所以?huà)佄锞(xiàn)的解析式y=x22x+1;
(2)∵AC∥x軸,A(0,1),
∴x22x+1=1,解得x1=6,x2=0(舍),即C點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),
∵點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(9,10),
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=x+1,設(shè)P(m,m22m+1),∴E(m,m+1),
∴PE=m+1(m22m+1)=m2+3m.
∵AC⊥PE,AC=6,
∴S四邊形AECP=S△AEC+S△APC=ACEF+ACPF
=AC(EF+PF)=ACEP
=×6(m2+3m)=m2+9m.
∵0<m<6,
∴當(dāng)m=時(shí),四邊形AECP的面積最大值是,此時(shí)P();
(3)∵y=x22x+1=(x3)22,
P(3,2),PF=yFyp=3,CF=xFxC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45,
同理可得∠EAF=45,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直線(xiàn)AC上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q,
設(shè)Q(t,1)且AB=,AC=6,CP=,
∵以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,
①當(dāng)△CPQ∽△ABC時(shí),
CQ:AC=CP:AB,(6t):6=,解得t=4,所以Q(4,1);
②當(dāng)△CQP∽△ABC時(shí),
CQ:AB=CP:AC,(6t)6,解得t=3,所以Q(3,1).
綜上所述:當(dāng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí),在直線(xiàn)AC上存在點(diǎn)Q,使得以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1)或(3,1).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形分成9個(gè)完全相同的小正方形,把最中間的一個(gè)小正方形涂成白色(圖①),再對(duì)其他8個(gè)小正方形作同樣的分割(分成9個(gè)完全相同的小正方形,把最中間的一個(gè)小正方形涂成白色(圖②),繼續(xù)同樣的方法分割圖形(圖③),…得到一些既復(fù)雜又漂亮的圖形,它的每一部分放大,都和整體一模一樣,它是波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基構(gòu)造的,也被稱(chēng)為“謝爾賓斯基地毯”.求:
(1)圖③中最新的一個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng);
(2)圖③中所有涂黑部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:A(1,1),B(3,2),C(1,4).
(1)將△ABC先向下平移4個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,畫(huà)出第二次平移后的△A1B1C1.若將△A1B1C1看成是△ABC經(jīng)過(guò)一次平移得到的,則平移距離是________.
(2)以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心,畫(huà)出與△ABC成中心對(duì)稱(chēng)的△A2B2C2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,點(diǎn)E在⊙O上,∠EAB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作AE的垂線(xiàn),垂足為D,直線(xiàn)DC與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P.
(1)判斷直線(xiàn)PC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若tan∠P=,AD=6,求線(xiàn)段AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】長(zhǎng)沙市馬王堆蔬菜批發(fā)市場(chǎng)某批發(fā)商原計(jì)劃以每千克10元的單價(jià)對(duì)外批發(fā)銷(xiāo)售某種蔬菜為了加快銷(xiāo)售,該批發(fā)商對(duì)價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后,售價(jià)降為每千克元.
求平均每次下調(diào)的百分率;
某大型超市準(zhǔn)備到該批發(fā)商處購(gòu)買(mǎi)2噸該蔬菜,因數(shù)量較多,該批發(fā)商決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇方案一:打八折銷(xiāo)售;方案二:不打折,每噸優(yōu)惠現(xiàn)金1000元試問(wèn)超市采購(gòu)員選擇哪種方案更優(yōu)惠?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題情景:如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度數(shù).
(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組經(jīng)過(guò)討論形成下列推理,請(qǐng)你補(bǔ)全推理依據(jù).
如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB,
∵PE∥AB(作圖知)
又∵AB∥CD,
∴PE∥CD.( )
∴∠A+∠APE=180°.
∠C+∠CPE=180°.( )
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
問(wèn)題遷移:
(2)如圖3,AD∥BC,當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠ADP=α,∠BCP=β,求∠CPD與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.
問(wèn)題解決:
(3)在(2)的條件下,如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合),請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD與α、β之間的數(shù)量關(guān)系 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】讓我們輕松一下,做一個(gè)數(shù)字游戲。第一步:取一個(gè)自然數(shù)n1=5,計(jì)算n12+1得a1;第二步:算出a1的各位數(shù)字之和得n2,計(jì)算n22+1得a2;第三步,算出a2的各位數(shù)字之和得n3,計(jì)算n32+1得a3;…………以此類(lèi)推,則a2019=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有3張紙牌,分別是紅桃3、紅桃4和黑桃5(簡(jiǎn)稱(chēng)紅3,紅4,黑5).把牌洗勻后甲先抽取一張,記下花色和數(shù)字后將牌放回,洗勻后乙再抽取一張.
(1)兩次抽得紙牌均為紅桃的概率;(請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”等方法寫(xiě)出分析過(guò)程)
(2)甲、乙兩人做游戲,現(xiàn)有兩種方案.A方案:若兩次抽得花色相同則甲勝,否則乙勝.B方案:若兩次抽得紙牌的數(shù)字和為奇數(shù)則甲勝,否則乙勝.請(qǐng)問(wèn)甲選擇哪種方案勝率更高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步推進(jìn)青少年陽(yáng)光工程,樹(shù)立“每天鍛煉一小時(shí),快樂(lè)學(xué)習(xí)一整天”的指導(dǎo)思想,鄭州市教育局部署了校園陽(yáng)光大課間活動(dòng)鄭州市某中學(xué)體育組為了了解七年級(jí)學(xué)生的體能情況,組織七年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了1分鐘跳繩測(cè)試,并將測(cè)試成績(jī)(即1分鐘跳繩的個(gè)數(shù))分段后給出相應(yīng)等級(jí),具體為:測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>60~90范圍內(nèi)的記為D級(jí),90~120范圍內(nèi)的記為C級(jí),120~150范圍內(nèi)的記為B級(jí),150~180及以上范圍內(nèi)的記為A級(jí),并繪出了測(cè)試成績(jī)頻數(shù)分布直方圖及扇形統(tǒng)計(jì)圖,其中在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為54°,
請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,A級(jí)所占百分比為 %;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求D級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖給出合理的運(yùn)動(dòng)建議.(至少寫(xiě)出兩條)
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