Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于F，連接AF、CE．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時，求∠CBD的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等知AE=CF，所以對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（2）根據(jù)證明M是BC的中點(diǎn)，AM丄BC（已知），△ABC為等邊三角形，然后根據(jù)三線合一定理即可求解．

解答：（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），
∴BC∥AD（平行四邊形的對邊相互平行）；
又∵AM丄BC（已知），
∴AM⊥AD；
∵CN丄AD（已知），
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
∴∠ADE=∠CBD，
∵AD=BC（平行四邊形的對邊相等），
在△ADE和△CBF中，

∠DAE=∠BCF=90° AD=CB ∠ADE=∠FBC

，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
∴四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
（2）如圖，連接AC交BF于點(diǎn)0，當(dāng)四邊形AECF為菱形時，
則AC與EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四邊形的對角線相互平分），
∴AC與BD互相垂直平分，
∴?ABCD是菱形（對角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形），
∴AB=BC（菱形的鄰邊相等）；
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，AM丄BC（已知），
∴AB=AC（等腰三角形的性質(zhì)），
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°．

點(diǎn)評：本題綜合考查了解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)．