Question

關于x的一元二次方程x²+x-k=0有兩個實數(shù)根x₁、x₂，若[2+x₁（1+x₁）]•[3-2x₂（1+x₂）]=3，則k的值為

 

．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系

專題：計算題

分析：先根據(jù)判別式的意義得到k≥-

1

4

，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-k，把兩根之和變形得x₁+1=-x₂，x₂+1=-x₁，然后利用整體代入把[2+x₁（1+x₁）]•[3-2x₂（1+x₂）]=3變形為（2-x₁•x₂）（3+2x₁•x₂）=3，再兩根之積代入得（2+k）（3-2k）=3，解此得k₁=-

3

2

，k₂=1，最后根據(jù)k的范圍確定k的值．

解答：解：根據(jù)題意得△=1-4•（-k）≥0，解得k≥-

1

4

，
x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-k，
∴x₁+1=-x₂，x₂+1=-x₁，
∵[2+x₁（1+x₁）]•[3-2x₂（1+x₂）]=3，
∴（2-x₁•x₂）（3+2x₁•x₂）=3，
∴（2+k）（3-2k）=3，
整理得2k²+k-3=0，解得k₁=-

3

2

，k₂=1，
而k≥-

1

4

，
∴k的值為1．
故答案為1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．