Question

⊙O₁和⊙O₂是外切于點P的兩個等圓．

（1）若兩圓半徑都是10mm，分別作⊙O₁的弦PA₁和⊙O₂的弦PB₁，且∠A₁PB₁=90°，測量點A₁和B₁的距離；再重復(fù)作弦PA₂、PB₂，要求同前．問這兩次測量的距離A₁B₁與A₂B₂是否相等？它們與兩圓的半徑有沒有聯(lián)系？
（2）猜測：如果（1）中兩等圓的半徑為r，那么分別在兩圓中互相垂直的弦PA與PB的端點A和端點B的距離等于多少？

Answer 1

解：（1）過P點作兩圓的內(nèi)切線TP，

由弦切角定理知2∠TPA=∠PO₁A，2∠TPB=∠PO₂B，
∵∠A₁PB₁=90°，
∴∠PO₁A+∠PO₂B=180°，
∴AO₁∥BO₂，
∴ABO₁O₂是平行四邊形，
∴AB=O₁O₂，
∴∠A₁B₁=A₂B₂=20cm，與兩圓的半徑有聯(lián)系；

（2）AB=2r；
分析：（1）由題意作出圖形，知道∠A₁PB₁=90°，則要證明∠AO₁P+∠BO₂P=180°，由圓周角定理可以證出，則由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，兩半徑相等，則能證明ABO₁O₂是平行四邊形，得出結(jié)論，
（2）由（1）結(jié)論得到結(jié)果．
點評：本題主要考查相切兩圓的性質(zhì)，本題很新穎，看起來有一定難度，不過仔細分析后還不是很難．