Question

【題目】在等腰直角三角形中， ， , 是斜邊的中點(diǎn)，連接.

（1）如圖1， 是的中點(diǎn)，連接，將沿翻折到，連接，當(dāng)時(shí)，求的值.

（2）如圖2，在上取一點(diǎn)，使得，連接,將沿翻折到,連接交于點(diǎn),求證： .

Answer 1

【答案】（1）的值為；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在等腰直角三角形中先求出AC的長，再在Rt△ACE′中，理由勾股定理求出AE′的長即可；（2）B作AE’的垂線交AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H,由角角邊可證△ABH≌△CAE′，所以AH=HE=CE，進(jìn)而D是BC中點(diǎn)，由中位線定理得DE//BH ，再由角角邊得△ABG≌△CAF，得到AG=CF進(jìn)而DF=CF.

試題解析：（1）∵， ，D是斜邊的中點(diǎn)，

∴，∠ACD=45°，

在RtADC中：AC=AD.sin45°=

∵E是AC的中點(diǎn)

∴CE=AC=

∵將△CDE沿CD翻折到△CDE′

∴CE′=CE=, ∠ACE′=90°,由勾股定理得：

AE′=

過B作AE’的垂線交AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H

∵∠ABH+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°

∴∠ABH=∠CAF

又∵AB=AC,∠BAH=∠ACE’=90°

∴△ABH≌△CAE′

∴AH=CE′=CE

∵

∴AH=HE=CE

∵D是BC中點(diǎn)

∴DE//BH

∴G是AD中點(diǎn)

在ABG和CAF中：AB=AC,∠BAD=∠ACD=45°，∠ABH=∠CAF

∴△ABG≌△CAF

∴AG=CF

∵AG=AD

∴CF=AD=CD

∴DF=CF