Question

如圖，在平面直角坐標系中，半圓的圓心點A在軸上，直徑OB=8，點C是半圓上一點，，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B、C.動點P和點Q同時從點O出發(fā)，點P以每秒1個單位的速度從O點運動到點C，點Q以每秒兩個單位的速度在OB上運動，當點P運動到點C時，點Q隨之停止運動.點D是點C關(guān)于二次函數(shù)圖象對稱軸的對稱點，順次連接點D、P、Q，設(shè)點P的運動時間為t秒，△DPQ的面積為y.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）當時，直接寫出點P的坐標；

（3）在點P和點Q運動的過程中，△DPQ的面積存在最大值嗎？如果存在，請求出此時的t值和△DPQ面積的最大值；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）解：連接AC

為半圓的圓心，OB=8

   

 △AOC為等邊三角形

 

易知

二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=6

將點，分別代入解得：

.

（2）         

（3）連接BC、 DB，延長DB、PQ交于點E

     ，

△OPQ∽△OCB

∠OPQ=∠OCB

為半圓的直徑

∠OCB=90º

∠OPQ=90º

在Rt△OPQ中，PQ=  

連接CD

點D是點C關(guān)于二次函數(shù)圖象對稱軸的對稱點

CD∥OB

且對稱軸為x=6

CD=OB=8

四邊形OCDB為平行四邊形

OC∥DB

∠DEP=∠OPQ=90º

在Rt△BEQ中，∠BQE=30º，

 

        

S_△DPQ=

即        

當t =4時，△DPQ的面積的最大值為 .