Question

【題目】已知，如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高。求證：AD垂直平分EF。

Answer 1

【答案】證明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD，

又∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，

∴∠1=∠2，DE=DF，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線(xiàn)上（到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上）,
∵DE=DF，

∴點(diǎn)D在EF的垂直平分線(xiàn)上，

∴AD垂直平分EF.

【解析】由角平分線(xiàn)定義和角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠1=∠2，DE=DF，再由垂直的定義得出∠AED=∠AFD，再根據(jù)AAS得出△AED≌△AFD，由全等三角形的性質(zhì)得出AE=AF，再根據(jù)垂直平分線(xiàn)的判定得出點(diǎn)A、E在EF的垂直平分線(xiàn)上；從而得出AD垂直平分EF.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和角的平分線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線(xiàn)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線(xiàn)叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)才能正確解答此題．