Question

【題目】（1） 問題發(fā)現(xiàn)：如圖， 在中，，， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， 以點(diǎn)為頂點(diǎn)作正方形， 使點(diǎn)，分別在和DF上， 連接，，則線段和數(shù)量關(guān)系是 ．

（2） 類比探究：如圖， 保持固定不動， 將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由

（3）解決問題：若，在的旋轉(zhuǎn)過程中，連接，請直接寫出的最大值

Answer 1

【答案】（1）BE＝AF；（2）成立，理由詳見解析；（3）3

【解析】

(1)證明△ADF≌△BDE即可得到結(jié)論；

(2) 連接AD，證明△BDE≌△ADF即可；

(3) 由正方形DFGE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，故以點(diǎn)D為圓心DE為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)M，且點(diǎn)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)AE有最大值，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD=BC=1，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出DE=DM=DF=2，即可得到AM=3.

解：（1）∵， 點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵，，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠BAD=∠ABC=45°，

∴AD=BD，

∵四邊形為正方形，

∴DE=DF，

∴△ADF≌△BDE，

∴BE＝AF；

（2）成立，理由如下，如圖2，連接AD，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，

∴∠2＋∠3＝90°，

∵四邊形EDFG為正方形，

∴DE＝DF，∴∠EDF＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，

∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF．

（3）由正方形DFGE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，故以點(diǎn)D為圓心DE為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)M，且點(diǎn)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)AE有最大值，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，

∴AD=BC=1，

∵四邊形EDFG為正方形，

∴DE=DM=DF=2，

∴AM=AD+DM=1+2=3，

∴AE的最大值為3.