Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，D不重合），，BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，BM交于AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)M．

（1）求DE：CG的值；

（2）設(shè)，，

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍．

②當(dāng)圖中點(diǎn)E，M關(guān)于對(duì)角線BD成軸對(duì)稱時(shí)，求y的值．

Answer 1

【答案】（1）：1；（2）①(0＜x＜6)；②

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，得到∠BDE=∠BCG=∠CBD=45°，BD= BD＝BC，再由∠EBM=45°，利用等式的性質(zhì)得到∠DBE＝∠CBG，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到△BDE∽△BCG，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出所求；
（2）①由四邊形ABCD為正方形，且△BDE∽△BCG，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而確定出△BEG∽△BAD，得到三角形BEG為等腰直角三角形，表示出y與x的函數(shù)解析式即可；
②若E、M關(guān)于對(duì)角線BD成軸對(duì)稱，連接EM，交AC于點(diǎn)H，可得BD垂直平分EM，BE為角平分線，進(jìn)而得到AE=HE=DH，求出x的值，代入計(jì)算即可求出y的值．

(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDE＝∠BCG＝∠CBD＝45°，BD＝BC，

又∠EBM＝45°，

∴∠DBE＝∠CBG，

∴△BDE∽△BCG，

∴DE:CG＝BD:BC＝:1．

(2)①∵四邊形ABCD是正方形，

又∵△BDE∽△BCG，

∴BE:BG＝BD:BC＝BD:AB＝:1，

∵∠EBG=∠ABD，

∴△BEG∽△BAD，

∴△BEG是等腰直角三角形，

∴(0＜x＜6)．

②若E，M關(guān)于對(duì)角線BD成軸對(duì)稱，

連接EM交AC于點(diǎn)H，

∴BD垂直平分EM，∠EBH=∠MBH,

∵∠ABE+∠EBH=∠EBH+∠MBH，

∴∠ABE=∠MBH，

∴∠ABE=∠EBH，

∴BE平分∠ABD，

∴AE＝HE＝DH，DE＝HE，

∴，

即，

∴．