【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),將該長(zhǎng)方形沿OB翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,OD與BC交于點(diǎn)E.
(I)證明:EO=EB;
(Ⅱ)點(diǎn)P是直線OB上的任意一點(diǎn),且△OPC是等腰三角形,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅲ)點(diǎn)M是OB上任意一點(diǎn),點(diǎn)N是OA上任意一點(diǎn),若存在這樣的點(diǎn)M、N,使得AM+MN最小,請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值.
【答案】(I)證明見解析;(Ⅱ)P的坐標(biāo)為(4,2)或(,)或P(﹣,﹣)或(,);(Ⅲ).
【解析】分析:(Ⅰ)由折疊得到∠DOB=∠AOB,再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB,即∠OBC=∠DOB,即可;
(Ⅱ)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),分三種情況討論計(jì)算即可;
(Ⅲ)根據(jù)題意判斷出過點(diǎn)D作OA的垂線交OB于M,OA于N,求出DN即可.
詳解:(Ⅰ)∵將該長(zhǎng)方形沿OB翻折,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,OD與BC交于點(diǎn)E,
∴∠DOB=∠AOB,
∵BC∥OA,
∴∠OBC=∠AOB,
∴∠OBC=∠DOB,
∴EO=EB;
(Ⅱ)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),
∴直線OB解析式為y=x,
∵點(diǎn)P是直線OB上的任意一點(diǎn),
∴設(shè)P(a,a).
∵O(0,0),C(0,4),
∴OC=4,PO2=a2+(a)2=a2,PC2=a2+(4-a)2.
當(dāng)△OPC是等腰三角形時(shí),可分三種情況進(jìn)行討論:
①如果PO=PC,那么PO2=PC2,
則a2=a2+(4-a)2,解得a=4,即P(4,2);
②如果PO=OC,那么PO2=OC2,
則a2=16,解得a=±,即P(,)或P(-,-);
③如果PC=OC時(shí),那么PC2=OC2,
則a2+(4-a)2=16,解得a=0(舍),或a=,即P(,);
故滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2)或(,)或P(-,-)或(,);
(Ⅲ)如圖,過點(diǎn)D作OA的垂線交OB于M,交OA于N,
此時(shí)的M,N是AM+MN的最小值的位置,求出DN就是AM+MN的最小值.
由(1)有,EO=EB,
∵長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4),
設(shè)OE=x,則DE=8-x,
在Rt△BDE中,BD=4,根據(jù)勾股定理得,DB2+DE2=BE2,
∴16+(8-x)2=x2,
∴x=5,
∴BE=5,
∴CE=3,
∴DE=3,BE=5,BD=4,
∵S△BDE=DE×BD=BE×DG,
∴DG=,
由題意有,GN=OC=4,
∴DN=DG+GN=+4=.
即:AM+MN的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y1=kx+1(k<0)與直線y2=mx(m>0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,m),則不等式組mx﹣2<kx+1<mx的解集為( )
A. x> B. <x< C. x< D. 0<x<
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的頂點(diǎn)在⊙O上,BD是⊙O的直徑,延長(zhǎng)CD、BA 交于點(diǎn)E,連接AC、BD交于點(diǎn)F,作AH⊥CE,垂足為點(diǎn)H,已知∠ADE=∠ACB.
(1)求證:AH是⊙O的切線;
(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;
(3)若,求證:CD=DH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上點(diǎn)A表示整數(shù)a,且,點(diǎn)B表示a的相反數(shù).
(1)畫數(shù)軸,并在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A與點(diǎn)B;
(2)點(diǎn)P, Q 在線段AB上,且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),若P, Q兩點(diǎn)沿?cái)?shù)軸相向勻速運(yùn)動(dòng),出發(fā)后經(jīng)4秒兩點(diǎn)相遇. 已知在相遇時(shí)點(diǎn)Q比點(diǎn)P多行駛了3個(gè)單位,相遇后經(jīng)1秒點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)P的起始位置. 問點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的速度分別是每秒多少個(gè)單位;.
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)P從整數(shù)點(diǎn)出發(fā),當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)(t是整數(shù)),將數(shù)軸折疊,使A點(diǎn)與B點(diǎn)重合,經(jīng)過折疊P點(diǎn)與Q點(diǎn)也恰好重合,求P點(diǎn)的起始位置表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C地在A地的正東方向,因有大山阻隔,由A地到C地需繞行B地,已知B地位于A地北偏東67°方向,距離A地520km,C地位于B地南偏東30°方向,若打通穿山隧道,建成兩地直達(dá)高鐵,求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng).(結(jié)果保留整數(shù))
(參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,,將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)角為,點(diǎn)B,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D,點(diǎn)E,過點(diǎn)D作直線AB的垂線,垂足為F,過點(diǎn)E作直線AC的垂線,垂足為P,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的距離是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中,運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要.
例如:已知:a2+2a=1,則代數(shù)式2a2+4a+4=2( a2+2a) +4=2×1+4=6.
請(qǐng)你根據(jù)以上材料解答以下問題:
(1)若,求的值;
(2)當(dāng)時(shí),代數(shù)式的值是5,求當(dāng)時(shí),代數(shù)式px3+qx+1的值;
(3)當(dāng)時(shí),代數(shù)式的值為m,求當(dāng)時(shí),求代數(shù)式的值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次海上軍事學(xué)習(xí)期間,我軍為確保△OBC海域內(nèi)的安全,特派遣三艘軍艦分別在O、B、C處監(jiān)控△OBC海域,在雷達(dá)顯示圖上,軍艦B在軍艦O的正東方向80海里處,軍艦C在軍艦B的正北方向60海里處,三艘軍艦上裝載有相同的探測(cè)雷達(dá),雷達(dá)的有效探測(cè)范圍是半徑為r的圓形區(qū)域.(只考慮在海平面上的探測(cè))
(1)若三艘軍艦要對(duì)△OBC海域進(jìn)行無盲點(diǎn)監(jiān)控,則雷達(dá)的有效探測(cè)半徑r至少為多少海里?
(2)現(xiàn)有一艘敵艦A從東部接近△OBC海域,在某一時(shí)刻軍艦B測(cè)得A位于北偏東60°方向上,同時(shí)軍艦C測(cè)得A位于南偏東30°方向上,求此時(shí)敵艦A離△OBC海域的最短距離為多少海里?
(3)若敵艦A沿最短距離的路線以20海里/小時(shí)的速度靠近△OBC海域,我軍軍艦B沿北偏東15°的方向行進(jìn)攔截,問B軍艦速度至少為多少才能在此方向上攔截到敵艦A?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉行全體學(xué)生“漢字聽寫”比賽,每位學(xué)生聽寫漢字39個(gè)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的聽寫結(jié)果,繪制成如下的圖表.
組別 | 正確字?jǐn)?shù)x | 人數(shù) |
A | 10 | |
B | 15 | |
C | 25 | |
D | m | |
E | n |
根據(jù)以上信息完成下列問題:
統(tǒng)計(jì)表中的______,______,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C組”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是______;
已知該校共有900名學(xué)生,如果聽寫正確的字的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)該校本次聽寫比賽不合格的學(xué)生人數(shù).
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