Question

設(shè)a、b是任意兩個實數(shù)，且a＜b．我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)a≤x≤b時，有a≤y≤b，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”．若二次函數(shù)y=

1

2

x²-2x是區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，則實數(shù)m、n值分別為（　　）

• A、m=1-

  5

  ，n=1+

  5

• B、m=-1，n=2或m=1-

  5

  ，n=1+

  5

• C、m=-2，n=6
• D、m=-2，n=6或m=1-

  5

  ，n=1+

  5

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：該二次函數(shù)的對稱為x=2，當(dāng)x=2時有最小值-2，故分n≤2，m＜2＜n和m≥2三種情況根據(jù)二次函數(shù)的增減性分別討論求解即可．

解答：解：該二次函數(shù)的對稱為x=2，當(dāng)x=2時有最小值-2，
當(dāng)n≤2時，二次函數(shù)為減函數(shù)，所以由閉函數(shù)的定義可知

m= 1 2 n2-2n n= 1 2 m2-2m

，
解得

m=0 n=0

（舍去），或

m=6 n=6

（舍去），或

m=1+ 5 n=1- 5

（舍去），或

m=1- 5 n=1+ 5

（舍去）；
當(dāng)m＜2＜n時，此時二次函數(shù)的最小值為-2=m，由閉函數(shù)的定義可知n=

1

2

m²-2m或n=

1

2

n²-2n，
①當(dāng)n=

1

2

m²-2m時，即n=6，此時m=-2，n=6；
②當(dāng)n=

1

2

n²-2n時，解得n=0（舍去）或n=6；
所以此時可得m=-2，n=6；
當(dāng)m≥2時，二次函數(shù)為增函數(shù)，由閉函數(shù)的定義可知

m= 1 2 m2-2m n= 1 2 n2-2n

解得得

m=0 n=0

（舍去），或

m=6 n=6

（舍去），或

m=0 n=6

（m＞2，不合題意舍去）或

m=6 n=0

（m＜n，不合題意舍去）；
綜上可知m=-2，n=6．
故選C．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)圖象的對稱性和增減性，解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時，也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．