Question

二次函數(shù)y=x²-2ax+2a+3分別滿足下列條件時，求a的取值范圍．
（1）拋物線的頂點在x軸上；
（2）函數(shù)的最小值是-1；
（3）當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由頂點坐標(biāo)在x軸上可知其最小值為0，即當(dāng)x=a時，y有最小值0，代入可求得a；
（2）當(dāng)x=a時，y有最小值-1，代入可求得a；
（3）由條件可知其對稱軸為x=3，代入x=-

b

2a

可求得a的值．

解答：解：二次函數(shù)y=x²-2ax+2a+3開口向上，對稱軸方程為x=a，所以當(dāng)x=a時有最小值，最小值為y=-a²+2a+3，
（1）當(dāng)頂點在x軸上時，可知其最小值為0，則有-a²+2a+3=0，解得a=3或-1，
所以當(dāng)a=3或-1時，拋物線的頂點在x軸上；
（2）當(dāng)最小值是-1時，即-a²+2a+3=-1，解得a=1+

5

或a=1-

5

，
所以當(dāng)a=1+

5

或1-

5

時，二次函數(shù)的最小值為-1；
（3）當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小，可知二次函數(shù)對稱軸為x=3，
即a=3，所以當(dāng)a=3時，二次函數(shù)滿足當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減�。�

點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值、對稱軸和增減性，掌握二次函數(shù)的對稱軸方程及最值的求法是解題的關(guān)鍵．