Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，Q從OB的中點(diǎn)C開始在線段CO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．圓心移動(dòng)時(shí)，圓也跟著移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)四邊形APQB的面積為s．
（1）求s與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖3，當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，求s的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，⊙P和⊙Q內(nèi)切，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于S_{四邊形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ=OA•OB-OP•OQ，故用含t的代數(shù)式分別表示OP、OQ而求解；
（2）由勾股定理建立關(guān)于t的方程，求得t后，再求S；
（3）構(gòu)造一個(gè)直角三角形，結(jié)合兩圓內(nèi)切的圓心距等于兩圓半徑之差和勾股定理，進(jìn)行計(jì)算．
解答：解：（1）依題意，得AP=3t，CQ=t．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），OB的中點(diǎn)C，
∴OP=OA-AP=10-3t，
OQ=OC-CQ=OB-CQ
=×10-t
=5-t，
∴S_{四邊形APQB}=S_△OAB-S_△OPQ
=OA•OB-OP•OQ
=×10×10-（10-3t）（5-t），
∴S_{四邊形APQB}=．

（2）當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，PQ=4+1=5．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=25，
∴t=2或t=5（舍去），
當(dāng)t=2時(shí)，
s=
=44，
當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，s=44．

（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，存在某一時(shí)刻，⊙P和⊙Q內(nèi)切．
當(dāng)⊙P和⊙Q內(nèi)切時(shí)，PQ=4-1=3．
在Rt△OPQ中，OP²+OQ²=PQ²，
∴（10-3t）²+（5-t）²=9，
解得t=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想、勾股定理、兩圓的位置關(guān)系、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)求解，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)要靈活應(yīng)用．