Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+1與拋物線y=x²+bx+c將于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3，點P是直線AB下方拋物線上一點（不與A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D，連接PB、PA．
（1）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（2）設點P的橫坐標為m：
①用含有m的式子表示線段PC的長，當△PAB的面積最大時，求點P的坐標；
②若線段BC=DC，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）在y=

1

2

x+1中，當y=0時，x=-2；當y=3時，x=4，依此可得A與B的坐標；將A與B坐標代入拋物線解析式求出c與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）①設直線AB與y軸交于點E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標為m，分別代入直線與拋物線解析式得到兩個縱坐標之差為PC的長，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數的性質求出PD的最大值即可；
②若BC=DC，則△DCP面積與△BCP面積之比為1：1列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．

解答：解：（1）在y=

1

2

x+1中，當y=0時，x=-2；當y=3時，x=4．
則A（-2，0）、B（4，3），
將A、B分別代入y=x²+bx+c中，得

4-2b+c=0 16+4b+c=3

，
解得b=-

3

2

，c=-7
∴所求解析式為y=x²-

3

2

x-7．

（2）①設直線AB交y軸于點E，求得E（0，1），
∴∠ACP=∠AEO，
∴PD=PCsin∠ACP=

5

2

PC．
設P（m，m²-

3

2

m-7），則C（m，

1

2

m+1），
∴PC=（

1

2

m+1）-（m²-

3

2

m-7）=-m²+2m+8．
∴PD=

5

2

（-m²+2m+8）=-

5

2

（m-1）²+

9 5

2

．
∴PD的最大值為

9 5

2

，
則P點坐標為（1，-

15

2

）．
②過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點Q，

∵sin∠ACP=

5

2

，
∴cos∠ACP=

5

5

，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=

5

5

×（-m²+2m+8）=-

5

5

（m²-2m-8），
又∵BG=4-m，BC=DC，
∴S_△DCP=S_△BCP
即

1

2

DF•CP=

1

2

BG•CP
∴-

5

5

（m²-2m-8）=4-m
解得：m=4或m=

5

-2．
故當m=4或m=

5

-2時，線段BC=DC．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，坐標與圖形性質，二次函數的圖象與性質，銳角三角函數定義，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的面積求法．