Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于E，點F在AD上，且AF=AB，連接EF．

（1）判斷四邊形ABEF的形狀并證明；

（2）若AE、BF相交于點O，且四邊形ABEF的周長為20，BF=6，求AE的長度及四邊形ABEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABEF是菱形；理由見解析；（2）AE=8；四邊形ABEF的面積是24．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE=∠AEB，證出BE=AB，由AF=AB

得出BE=AF，即可得出結(jié)論．

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理計算出AO的

長，進而可得AE的長．菱形的面積=對角線乘積的一半．

（1）四邊形ABEF是菱形；理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，

由（1）得：AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AF=AB，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）∵四邊形ABEF為菱形，

∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，

∴AE=2AO=8．

∴四邊形ABEF的面積為：

綜上所述，AE=8；四邊形ABEF的面積是24．