Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角后得到△A′B′C，當點A的對應點A'落在AB邊上時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)是

 

度，陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：連接CA′，證明三角形AA′C是等邊三角形即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出扇形圓心角以及△CDB′的兩直角邊長，進而得出圖形面積即可．

解答：解：∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等邊三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°-60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=

1

2

CB′=

1

2

CB=

1

2

×2=1，
∴B′D=

22-12

=

3

，
∴S_△CDB′=

1

2

×CD×DB′=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S_扇形B′CB=

60×π×22

360

=

2π

3

，
則陰影部分的面積為：

2π

3

-

3

2

，
故答案為：

2π

3

-

3

2

．

點評：此題主要考查了扇形面積應用以及三角形面積求法和勾股定理應用等知識，本題的關(guān)鍵是弄清所求的陰影面積等于扇形減去三角形面積