Question

【題目】根據(jù)要求回答問題：
（1）【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，求線段BE與AF的數(shù)量關系

（2）【拓展研究】
在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）【問題發(fā)現(xiàn)】
當正方形CDEF旋轉到B，E，F(xiàn)三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，AB=AC=2，

根據(jù)勾股定理得，BC= AB=2 ，

點D為BC的中點，

∴AD= BC= ，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴AF=EF=AD= ，

∵BE=AB=2，

∴BE= AF，

（2）解：無變化；

如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴sin∠ABC= = ，

在正方形CDEF中，∠FEC= ∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，

∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，

∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，

∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴ ，

∴BE= AF，

∴線段BE與AF的數(shù)量關系無變化

（3）解：當點E在線段AF上時，如圖2，

由（1）知，CF=EF=CD= ，

在Rt△BCF中，CF= ，BC=2 ，

根據(jù)勾股定理得，BF= ，

∴BE=BF﹣EF= ﹣ ，

由（2）知，BE= AF，

∴AF= ﹣1，

當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴sin∠ABC= = ，

在正方形CDEF中，∠FEC= ∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，

∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，

∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，

∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴ ，

∴BE= AF，

由（1）知，CF=EF=CD= ，

在Rt△BCF中，CF= ，BC=2 ，

根據(jù)勾股定理得，BF= ，

∴BE=BF+EF= + ，

由（2）知，BE= AF，

∴AF= +1．

即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F(xiàn)三點共線時候，線段AF的長為 ﹣1或 +1．

【解析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出結論；（2）先利用三角函數(shù)得出 ，同理得出 ，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD= ，BF= ，即可得出BE= ﹣ ，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．