Question

如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判斷ABC的形狀：______________；

（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)點(diǎn)P位于的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．

 

Answer 1

解：（1）等邊三角形．

（2）PA+PB=PC．  

證明：如圖1，在PC上截取PD=PA，連接AD．

∵∠APC=60°，

∴△PAD是等邊三角形．

∴PA=AD，∠PAD=60°．

又∵∠BAC=60°，

∴∠PAB=∠DAC．

∵AB=AC，

∴△PAB≌△DAC．

∴PB=DC．

∵PD+DC=PC，

∴PA+PB=PC．

（3）當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APBC面積最大．

理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，

∵， ．

∴S_{四邊形APBC}= ．

∵當(dāng)點(diǎn)P為_弧AB的中點(diǎn)時(shí)，PE+CF =PC， PC為⊙O直徑，

∴四邊形APBC面積最大．

又∵⊙O的半徑為1，

∴其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)AB= ．

∴S_{四邊形APBC}= =．