Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，且∠AOD=90°．
（1）求證：AD²+BC²=AB²+CD²；
（2）若BC=2AD，AB=12，CD=9，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

考點：勾股定理

專題：

分析：（1）利用勾股定理可得AO²+DO²=AD²，BC²=BO²+OC²，即可求出AD²+BC²=AB²+CD²，
（2）把BC=2AD，AB=12，CD=9，代入AD²+BC²=AB²+CD²求解即可得出AD的長，利用周長公式求解即可．

解答：解：（1）∵AC和BD相交于點O，
∴AO²+DO²=AD²，BC²=BO²+OC²，
∴AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+OC²=AO²+BO²+（DO²+OC²）=AB²+CD²；
∴AD²+BC²=AB²+CD²；
（2）∵BC=2AD，AB=12，CD=9，
∴AD²+（2AD）²=12²+9²，
解得AD=3

5

．
∴BC=2AD=6

5

，
∴四邊形ABCD的周長=AD+BC+AB+CD=3

5

+6

5

+12+9=21+9

5

．

點評：本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是熟記勾股定理的靈活運用．