【題目】如圖,A(0,1),M(3,2),N(4,4),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿y軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上移動(dòng),且過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l:y=-x+b也隨之移動(dòng),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=3時(shí),求l的解析式;
(2)若點(diǎn)M,N位于l的異側(cè),確定t的取值范圍;
(3)直接寫(xiě)出t為何值時(shí),點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.
【答案】(1) y=-x+4;(2)4<t<7;(3)t=1時(shí),落在y軸上;t=2時(shí),落在x軸上.
【解析】試題分析:(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,求出一次函數(shù)的解析式;
(2)分別求出直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、點(diǎn)N時(shí)的t值,即可得到t的取值范圍;
(3)找出點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)l在坐標(biāo)軸上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F,如解答圖所示.求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo),然后分別求出ME、MF中點(diǎn)坐標(biāo),最后分別求出時(shí)間t的值.
試題解析:(1)直線(xiàn)y=-x+b交y軸于點(diǎn)P(0,b),
由題意,得b>0,t≥0,b=1+t.
當(dāng)t=3時(shí),b=4,
故y=-x+4.
(2)當(dāng)直線(xiàn)y=-x+b過(guò)點(diǎn)M(3,2)時(shí),
2=-3+b,
解得:b=5,
5=1+t,
解得t=4.
當(dāng)直線(xiàn)y=-x+b過(guò)點(diǎn)N(4,4)時(shí),
4=-4+b,
解得:b=8,
8=1+t,
解得t=7.
故若點(diǎn)M,N位于l的異側(cè),t的取值范圍是:4<t<7.
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)M作MF⊥直線(xiàn)l,交y軸于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)E,則點(diǎn)E、F為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D,則OD=3,MD=2.
已知∠MED=∠OEF=45°,則△MDE與△OEF均為等腰直角三角形,
∴DE=MD=2,OE=OF=1,
∴E(1,0),F(0,-1).
∵M(3,2),F(0,-1),
∴線(xiàn)段MF中點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
直線(xiàn)y=-x+b過(guò)點(diǎn)(,),則=-+b,解得:b=2,
2=1+t,
解得t=1.
∵M(3,2),E(1,0),
∴線(xiàn)段ME中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).
直線(xiàn)y=-x+b過(guò)點(diǎn)(2,1),則1=-2+b,解得:b=3,
3=1+t,
解得t=2.
故點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),當(dāng)t=1時(shí),落在y軸上,當(dāng)t=2時(shí),落在x軸上.
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