Question

若m、n都是正實(shí)數(shù)，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有實(shí)數(shù)根，則m+n的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

Answer 1

【答案】分析：由方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有實(shí)數(shù)根，則有m²-8n≥0，即m²≥8n；4n²-4m≥0，即n²≥m．通過(guò)不等式變形得：m⁴≥64n²≥64m，得m最小值是4；則n²≥m，得n≥2即n的最小值為2，由此得到m+n的最小值．
解答：解：∵方程都有實(shí)根，
∴，
∴m²≥8n，n²≥m．
∵m、n都是正實(shí)數(shù)，
因此有m⁴≥64n²≥64m，
∴m（m³-64）≥0，因m＞0，則m³≥64，m≥4，所以m最小值是4；
又n²≥m，n²≥4得n≥2，即n的最小值為2，
故m+n的最小值為6．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了式子的變形能力和不等式的解法．