Question

已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M、N在直線BC上，∠MAN=45°，現(xiàn)將∠MAN旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC上時(shí)，則線段BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系如何？
（2）當(dāng)點(diǎn)M在BC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在CB上，直接寫出線段BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在BC延長(zhǎng)線上，直接寫出線段BM、CN、MN的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠ACB=45°把△ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得△ACM′，連接NM′，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AM=AM′，BM=CM′，∠MAM′=90°，∠ACM′=∠B=45°，于是有∠BCM′=45°+45°=90°，再證明△ANM≌△ANM′，得到MN=M′N，然后在Rt△CNM′中，根據(jù)勾股定理得CN²+CM′²=M′N²所以CN²+BM²=MN²；
（2）把△ABN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′，連接MN′，如圖2，與（1）一樣可證明∠BCN′=90°，△ANM≌△AN′M，則MN=MN′，在Rt△CNM′中，根據(jù)勾股定理得CN′²+CM²=M′N²，則BN²+CM²=MN²，所以（BM-MN）²+（MN-CN）²=MN²，
（3）把△ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACM′，連接MN′，如圖3，與（1）一樣可證明∠BCM′=90°，△ANM≌△ANM′，則MN=MN′，在Rt△CNM′中，根據(jù)勾股定理得CN²+CM′²=M′N²，則CN²+BM²=MN²．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
把△ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACM′，連接NM′，如圖1，
∴AM=AM′，BM=CM′，∠MAM′=90°，∠ACM′=∠B=45°，
∴∠BCM′=45°+45°=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠M′AN=45°，
在△ANM和△ANM′中，

AM=AM′ ∠MAN=∠M′AN AN=AN

，
∴△ANM≌△ANM′（SAS），
∴MN=M′N，
在Rt△CNM′中，
CN²+CM′²=M′N²，
∴CN²+BM²=MN²；
（2）把△ABN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′，連接MN′，如圖2，
同樣證明∠BCN′=90°，
△ANM≌△AN′M，
∴MN=MN′，
在Rt△CNM′中，
CN′²+CM²=M′N²，
∴BN²+CM²=MN²，
即（BM-MN）²+（MN-CN）²=MN²，
（3）把△ABM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACM′，連接MN′，如圖3，
同樣證明∠BCM′=90°，
△ANM≌△ANM′，
∴MN=MN′，
在Rt△CNM′中，
CN²+CM′²=M′N²，
∴CN²+BM²=MN²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理．