Question

如圖，已知過P點(diǎn)的直線與⊙O相交于A、B，AB為⊙O的直徑，PC為⊙O的切線，C為切點(diǎn)，BD⊥PC于D，交圓心O于點(diǎn)E，∠P=30°，AB=2，求DE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，首先作輔助線，求出線段PA的長度；然后證明AE∥PD，運(yùn)用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

解答：解：如圖，連接AE，OC；
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC；
又∵∠P=30°，
∴PO=2CO=2，
∴PA=PO-OA=2-1=1；
∵AB為⊙O的直徑，
∴AE⊥BD，而PD⊥BD，
∴AE∥PD，
∴∠EAB=∠P=30°，
∴AB=2BE=2，
∴BE=1；
∵AE∥PD，
∴

DE

BE

=

PA

AB

，
即

1

2

=

DE

1

，解得DE=

1

2

，
即DE的長為

1

2

．

點(diǎn)評：該命題以三角形和圓為載體，在考查圓的切線及其應(yīng)用的同時，還滲透了對直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等幾何知識點(diǎn)的考查；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．