Question

如圖，點(diǎn)P、M、N分別在正△ABC的各邊上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC．求證：
（1）△PMN是等邊三角形；
（2）若AB=9cm，求MC．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C，進(jìn)而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根據(jù)平角的意義即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；
（2）易證得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，從而求得BM+PB=AB=9cm，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2PB=BM，即可求得PB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出MC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵M(jìn)P⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等邊三角形；
（2）根據(jù)題意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴MC=3cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本題的關(guān)鍵．