(2005•黑龍江)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的斜邊AB在x軸上,AB=25,頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,tan∠ACO=,點(diǎn)P在線段OC上,且PO、PC的長(zhǎng)(PO<PC)是關(guān)于x的方程x2-(2k+4)x+8k=0的兩根.
(1)求AC、BC的值;
(2)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)直接寫出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)tan∠ABC=-,可設(shè)AC=3a,BC=4a則AB=5a,5a=25,a=5,所以AC=15,BC=20;
(2)根據(jù)面積公式可求得OC=12,因?yàn)镻O+PC=4+2k=12,所以k=4,根據(jù)PO、PC的長(zhǎng)(PO<PC)是關(guān)于x的方程x2-(2k+4)x+8k=0的兩根.可求得PO=4,即P(0,-4);
(3)根據(jù)梯形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)分為兩種情況:②AP平行于CQ,②AC平行于PQ,先分別求出AP和AC的解析式y(tǒng)AP=-x-4和yAC=-x-12,結(jié)合兩直線平行時(shí),k的值相等,求出對(duì)應(yīng)的Q坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得直線PQ解析式為:y=-x-4或y=-x-4.
解答:解:(1)∵∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴∠ACO=∠ABC,
∴tan∠ABC=-
Rt△ABC中,設(shè)AC=3a,BC=4a,
則AB=5a,5a=25,
∴a=5,
∴AC=15,BC=20.

(2)∵S△ABC=AC•BC=OC•AB,
∴OC=12∴PO+PC=4+2k=12,
∴k=4,
∴方程可化為x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8;∵PO<PC,
∴PO=4,∴P(0,-4).

(3)存在,直線PQ解析式為:y=-x-4或y=-x-4,
說明:如果學(xué)生有不同于本參考答案的解題方法,只要正確,可參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),酌情給分.
點(diǎn)評(píng):主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
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(1)求AC、BC的值;
(2)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)直接寫出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求AP的長(zhǎng);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)直接寫出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求AP的長(zhǎng);
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請(qǐng)直接寫出直線PQ的解析式;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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