Question

頂角是36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD是△ABC的角平分線，那么AD=

 

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Answer 1

考點：黃金分割

專題：計算題

分析：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠ABC=∠C=72°，再根據(jù)角平分線定義得到∠ABD=∠CBD=36°，易得AD=BC=BD，然后證明△ABC∽△BCD，利用相似得性質(zhì)得AC：BC=BC：CD，則AC：AD=AD：CD，于是根據(jù)黃金分割點的定義得到點D為AC的黃金分割點，易得AD=

5 -1

2

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解答：解：∵AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC=BD，
∵∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴點D為AC的黃金分割點，
∴AD=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

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故答案為

5 -1

2

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點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點． 其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．