Question

歸納  推理　證明
（1）填空：如圖1，過△ABC的頂點(diǎn)A有一直線EF，且EF∥BC，求證：∠BAC+∠B+∠C=180°；

證明：∵EF∥BC　　　（已知）
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C；（

 

）
又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°（平角定義）
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（

 

）
本題所證明的命題可用一句話概括為

 

．
（2）在（1）基礎(chǔ)上請(qǐng)證明：如圖2，△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB平分線的交點(diǎn)，求∠BPC的度數(shù)；（每一步無需寫理由和依據(jù)）
（3）如圖3，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點(diǎn)B、C．若∠A=β°，則∠XBC+∠XCB=

 

，∠ABX+∠ACX=

 

．（直接填寫結(jié)果）

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,平行線的性質(zhì)

專題：推理填空題

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理分別填空即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后在△BPC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；
（3）在Rt△BCX中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得到∠XBC+∠XCB，然后在△ABC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得到∠ABX+∠ACX．

解答：（1）證明：∵EF∥BC（已知），
∴∠BAE=∠B，∠CAF=∠C；（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°（平角定義）
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代換）
本題所證明的命題可用一句話概括為：三角形內(nèi)角和為180°；
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；三角形內(nèi)角和為180°；

（2）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×130°=65°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-65°=115°；

（3）解：在Rt△BCX中，∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°；
在△ABC中，∠ABX+∠ACX=180°-∠A-（∠XBC+∠XCB）=180°-β°-90°=90°-β°．
故答案為：90°，90°-β°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，主要是三角形內(nèi)角和定理的證明和應(yīng)用，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．