Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥CD于點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若點(diǎn)E為

AB

的中點(diǎn)，AD=

32

5

，AC=8，求AB和CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）首先連接OC，由直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥CD，易證得OC∥AD，繼而可得AC平分∠DAB；
（2）首先連接BC，OE，過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，可證得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例以及勾股定理，即可求得答案．

解答：（1）證明：連接OC，
∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB；

（2）連接BC，OE，過點(diǎn)A作AF⊥EC于點(diǎn)F，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
即

32 5

8

=

8

AB

，
解得：AB=10，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵點(diǎn)E為

AB

的中點(diǎn)，
∴∠AOE=90°，
∴OE=OA=

1

2

AB=5，
∴AE=

OA2+OE2

=5

2

，
∵∠AEF=∠B（同弧所對圓周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△AFE，
∴

AB

AE

=

AC

AF

=

BC

EF

，
∴

10

5 2

=

8

AF

=

6

EF

，
∴AF=4

2

，EF=3

2

，
∵∠ACF=

1

2

∠AOE=45°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴CF=AF=4

2

，
∴CE=CF+EF=7

2

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．