Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：△PCF是等腰三角形；
（3）若tan∠ABC=

4

3

，BE=7

2

，求線段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由PD切⊙O于點(diǎn)C，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC平分∠DAB；
（2）可得∠PFC=∠PCF，即可證得PC=PF，即△PCF是等腰三角形；
（3）首先連接AE，易得AE=BE，即可求得AB的長(zhǎng)，繼而可證得△PAC∽△PCB，又由tan∠ABC=

4

3

，BE=7

2

，即可求得答案．

解答：解：（1）∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PD． 
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．

（3）連接AE．
∵CE平分∠ACB，
∴

AE

=

BE

，
∴AE=BE=7

2

．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AB=

AE2+BE2

=14．        
∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴

PC

PB

=

AC

BC

．
又∵tan∠ABC=

4

3

，
∴

AC

BC

=

4

3

，
∴

PC

PB

=

4

3

．
設(shè)PC=4k，PB=3k，則在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC²+OC²=OP²，
∴（4k）²+7²=（3k+7）²，
∴k=6 （k=0不合題意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．