【題目】已知:拋物線y=a(x-m)(x+3m)(a<0,m>0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,直線l:y=kx+b經(jīng)過點B,且與該拋物線有唯一公共點,平移直線l交拋物線于M、N兩點(點M、N分別位于x軸上方和下方)
(1) 若,C(0,)
① 求該拋物線的解析式
② 如圖1,連接AM、AN,求證:∠MAB=∠NAB
(2) 如圖2,連接MC.若MC∥x軸,求的值
【答案】(1)①;② 證明見解析;(2)
【解析】(1)①利用a的值和點C的坐標(biāo),代入求解即可得到函數(shù)的解析式;
②過點M作MD⊥x軸于D,過點N作NE⊥x軸于E,由一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求參數(shù)的值,然后得出直線MN,聯(lián)立方程組求出AD·NE-AE·MD=0,證明△MDA∽△NEA即可得解;
(2)設(shè)直線l:y=kx+b,聯(lián)立方程組,化簡后通過一元一次方程的根的判別式和線段的長求出比例即可.
(1) ① 當(dāng)時,
將C(0,)代入中,得,m=±1
∵m>0
∴m=1
∴
② 過點M作MD⊥x軸于D,過點N作NE⊥x軸于E
設(shè)直線l:y=kx-k,M(x1,y1)、N(x2,y2)
聯(lián)立,整理得
∵直線l與拋物線只有一個公共點
∴△=4(k+2)2=0,解得k=-2
設(shè)直線MN:y=-2x+t
聯(lián)立,整理得x2-2x+2t-3=0
∴x1+x2=2,x1x2=2t-3
∴AD·NE-AE·MD=(x1+3)(-y2)-(x2+3)y1=4x1x2+(6-t)(x1+x2)-6t
=4(2t-3)+(6-t)·2-6t=0
∴AD·NE=AE·MD
即
又∠MDA=∠NEA=90°
∴△MDA∽△NEA
∴∠MAB=∠NAB
(2) y=a(x2+2mx-3m2)=ax2+2amx-3am2
設(shè)直線l:y=kx+b
將B(m,0)代入y=kx+b得,km+b=0,b=-km
∴y=kx-km
聯(lián)立,整理得ax2+(2am-k)x-3am2+km=0
∴△=(2am-k)2-4a(-3am2+km)=0,得k=4am
∴直線l:y=4amx-4am2
∴M(-2m,-3am2)
∴直線MN的解析式為:y=4amx+5am2
聯(lián)立,整理得ax2-2amx-8am2=0
∴xM·xN=-8m2
又xM=-2m
∴xN=4m
∴N(4m,21am2)
∴AM2=m2+9a2m4,AN2=49m2+212a2m4
∴,.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,點是邊上一點,將沿折疊,使點落在點處.連結(jié),當(dāng)為直角三角形時,的長是( )
A.B.C.或D.或
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知矩形ABED,點C是邊DE的中點,且AB=2AD.
(1)由圖1通過觀察、猜想可以得到線段AC與線段BC的數(shù)量關(guān)系為___,位置關(guān)系為__;
(2)保持圖1中的△ABC固定不變,繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中的位置(當(dāng)垂線AD、BE在直線MN的同側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系?并給予證明(第一問中得到的猜想結(jié)論可以直接在證明中使用);
(3)保持圖2中的△ABC固定不變,繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置(當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長度之間有___關(guān)系.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中的某圓上,有弦MN,取MN的中點P,我們規(guī)定:點P到某點(直線)的距離叫做“弦中距”,用符號“”表示.
現(xiàn)請在以W(-3,0)為圓心,半徑為2的⊙W圓上,根據(jù)以下條件解答所提問題:
(1)已知弦MN長度為2.
①如圖1:當(dāng)MN∥x軸時,直接寫出到原點O的的長度;
②如果MN在圓上運動時,在圖2中畫出示意圖,并直接寫出到點O的的取值范圍.
(2)已知點,點N為⊙W上的一動點,有直線,求到直線的的最大值.
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【題目】我市晶泰星公司安排名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每人每天生產(chǎn)件甲產(chǎn)品或件乙產(chǎn)品.根據(jù)市場行情測得,甲產(chǎn)品每件可獲利元,乙產(chǎn)品每件可獲利元.而實際生產(chǎn)中,生產(chǎn)乙產(chǎn)品需要數(shù)外支出一定的費用,經(jīng)過核算,每生產(chǎn)件乙產(chǎn)品,當(dāng)天每件乙產(chǎn)品平均荻利減少元,設(shè)每天安排人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.
(1)根據(jù)信息填表:
產(chǎn)品種類 | 每天工人數(shù)(人) | 每天產(chǎn)量(件) | 每件產(chǎn)品可獲利潤(元) |
甲 | |||
乙 |
(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多元,試問:該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品可獲得總利潤是多少元?
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【題目】某市教育行政部門為了解該市九年級學(xué)生上學(xué)期參加綜合實踐活動的情況,隨機調(diào)查了該市光明中學(xué)九年級學(xué)生上學(xué)期參加綜合實踐活動的時間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)試求出該校九年級學(xué)生總數(shù);
(2)分別求出活動時間為2天、5天的學(xué)生人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)如果該市九年級學(xué)生共約50000人,請你估計“活動時間不少于4天”的有多少人.
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【題目】七年級二班的幾位同學(xué)正在一起討論一個關(guān)于數(shù)軸上的點表示數(shù)的題目:
甲說:“這條數(shù)軸上的兩個點、表示的數(shù)都是絕對值是4的數(shù)”;
乙說:“點表示負(fù)整數(shù),點表示正整數(shù),且這兩個數(shù)的差是3”;
丙說:“點表示的數(shù)的相反數(shù)是它本身”.
(1)請你根據(jù)以上三位同學(xué)的發(fā)言,畫出一條數(shù)軸,并描出、、、、五個不同的點.
(2)求這個五個點表示的數(shù)的和.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠B=60°,對角線AC=BC,點E在AB上,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得CF,且點F在AD上.
(1)求證:AF=BE;
(2)若AE=DF,求證:四邊形ABCD是菱形.
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