Question

【題目】探究與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過分離和構(gòu)造基本圖形，將幾何“模塊”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）：

．

（1）請(qǐng)就圖①證明上述“模塊”的合理性；

（2）請(qǐng)直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個(gè)問題：

①如圖②，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖③，過點(diǎn)作軸與軸的平行線，交直線于點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）根據(jù)余角的性質(zhì)就可以求出∠B=∠DCE，再由∠A=∠D=90°，就可以得出結(jié)論；

（2）①作AG⊥x軸于點(diǎn)G，BH⊥x軸于點(diǎn)H，可以得出△AGO∽△OHB，可以得出，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，-2x+3），建立方程求出其解就可以得出結(jié)論；

②過點(diǎn)E作EN⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥NE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，設(shè)E（x，y），先可以求出C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，DE=AD=6，CE=AC=3．再由條件可以求出△DME∽△ENC，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程組求出其解就可以得出結(jié)論．

（1）證明：∵∠BCE=90°，

∴∠ACB+∠DCE=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ACB+∠B=90°，

∴∠DCE=∠B．

∵∠A=∠D，

∴△ABC∽△DCE；

（2）①解：作軸，軸．

，

∴

∴，

∵點(diǎn)B在直線y=-2x+3上，

∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，-2x+3），

∴OH=x，BH=-2x+3，

∴，

，

，則，

∴；

②解：過點(diǎn)作軸，作，延長(zhǎng)交于．

∵A（-2，1），

∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，

設(shè)C（m，1），D（-2，n），

∴1=-2m+3，n=-2×（-2）+3，

∴m=1，n=7，

∴C（1，1），D（-2，7）．

設(shè)．

，

∴．

，

，

代入得方程組為：

，解之得：．

．