Question

我們知道：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段AB、CD的長(zhǎng)度分別是m，n，那么就說(shuō)兩條線(xiàn)段的比AB：CD=m：
n，如果把

m

n

表示成比值k，那么

AB

CD

=k，或AB=kCD．請(qǐng)完成以下問(wèn)題：
（1）四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果

 

，那么這四條線(xiàn)段a，b，c，d叫做成比例線(xiàn)段．
（2）已知

a

b

=

c

d

=2，那么

a+b

b

=

 

，

c+d

d

=

 

（3）如果

a

b

=

c

d

，那么

a-b

b

=

c-d

d

成立嗎？請(qǐng)用兩種方法說(shuō)明其中的理由．
（4）如果

x+y

z

=

y+z

x

=

z+x

y

=m，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：比例線(xiàn)段

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)成比例線(xiàn)段的定義作答；
（2）由

a

b

=

c

d

=2，得a=2b，c=2d，代入計(jì)算即可求解；
（3）利用等式的性質(zhì)兩邊減去1即可證明；設(shè)

a

b

=

c

d

=k，那么a=kb，c=kd，代入即可證明；
（4）可分x+y+z=0和x+y+z≠0兩種情況代入求值和利用等比性質(zhì)求解．

解答：解：（1）四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果a：b=c：d，那么這四條線(xiàn)段a，b，c，d叫做成比例線(xiàn)段；

（2）∵

a

b

=

c

d

=2，
∴a=2b，c=2d，
∴

a+b

b

=

2b+b

b

=3，

c+d

d

=

2d+d

d

=3．

（3）如果

a

b

=

c

d

，那么

a-b

b

=

c-d

d

成立．理由如下：
證明一：∵

a

b

=

c

d

，
∴

a

b

-1=

c

d

-1，即

a

b

-

b

b

=

c

d

-

d

d

，
∴

a-b

b

=

c-d

d

；
證明二：設(shè)

a

b

=

c

d

=k，那么a=kb，c=kd，
∵

a-b

b

=

kb-b

b

=k-1，

c-d

d

=

kd-d

d

=k-1，
∴

a-b

b

=

c-d

d

；

（4）①當(dāng)x+y+z=0時(shí)，
y+z=-x，z+x=y，x+y=-z，
∴m為其中任何一個(gè)比值，即m=

-x

x

=-1；
②x+y+z≠0時(shí)，
m=

y+z+z+x+x+y

x+y+z

=

2(x+y+z)

x+y+z

=2．
所以m=2或-1．
故答案為a：b=c：d；3，3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了比例線(xiàn)段的定義：對(duì)于四條線(xiàn)段a、b、c、d，如果其中兩條線(xiàn)段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線(xiàn)段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我們就說(shuō)這四條線(xiàn)段是成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．同時(shí)考查了比例的性質(zhì)．