【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx2a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,直線BD交拋物線于點D,并且D23),tanDBA=

1)求拋物線的解析式;

2)已知點M為拋物線上一動點,且在第三象限,順次連接點BM、C、A,求四邊形BMCA面積的最大值;

3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下,過點M作直線平行于y軸,在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓?若存在,求出圓心Q的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)如答圖1,過點DDE⊥x軸于點E,則DE=3,OE=2。

BE=6。

∴OB=BE﹣OE=4。∴B﹣40)。

B﹣4,0)、D2,3)在拋物線y=ax2+bx﹣2a≠0)上,

,解得。

拋物線的解析式為: 。

2)在拋物線中,

x=0,得y=﹣2∴C0,﹣2)。

y=0,得x=﹣41∴A1,0)。

設點M坐標為(m,n)(m0,n0)。

如答圖1,過點MMF⊥x軸于點F,則MF=﹣n,OF=﹣m,BF=4+m。

Mm,n)在拋物線上,,代入上式得:

m=﹣2時,四邊形BMCA面積有最大值,最大值為9

3)假設存在這樣的⊙Q,

如答圖2所示,設直線x=﹣2x軸交于點G,與直線AC交于點F

設直線AC的解析式為y=kx+b,

A1,0)、C0﹣2)代入得:

,解得: 。

直線AC解析式為:y=2x﹣2。

x=﹣2,得y=﹣6,∴F﹣2﹣6),GF=6

Rt△AGF中,由勾股定理得:

。

Q﹣2,q),則在Rt△AGF中,由勾股定理得:

Q與直線AC相切于點E,則QE=OQ=。

Rt△AGFRt△QEF中,

∵∠AGF=∠QEF=90°∠AFG=∠QFE,∴Rt△AGF∽Rt△QEF

,即。

化簡得: ,解得q=4q=﹣1。

存在一個以Q點為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓,點Q的坐標為(﹣24)或(﹣2,﹣1)。

【解析】(1)如答圖1所示,利用已知條件求出點B的坐標,然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

2)如答圖1所示,首先求出四邊形BMCA面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質求出其最大值。

3)如答圖2所示,首先求出直線AC與直線x=2的交點F的坐標,從而確定了Rt△AGF的各個邊長;然后證明Rt△AGF∽Rt△QEF,利用相似線段比例關系列出方程,求出點Q的坐標。

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