【題目】2017甘肅省天水市)△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合,將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q

1)如圖①,當(dāng)點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE≌△CQE;

2)如圖②,當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時,求證:△BPE∽△CEQ;并求當(dāng)BP=2CQ=9BC的長.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析,

【解析】

試題(1)由AB=AC,AP=AQ可得BP=CQ,又因BE=CE,∠B=∠C=45°,利用“SAS”判定△BPE≌△CQE;(2)連接PQ,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,所以∠BEP=∠EQC;再由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△BPE∽△CQE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,把BP=aCQ=代入上式可求得BE=CE=,再求得,AB=AC=BCsin45°=3a,所以,,在Rt△APQ中,由勾股定理可得

試題解析:

解:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=45°,AB=AC

∵AP=AQ,

∴BP=CQ,

∵EBC的中點,

∴BE=CE

△BPE△CQE中,

,

∴△BPE≌△CQESAS);

2)解:連接PQ,

∵△ABC△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=∠DEF=45°∵∠BEQ=∠EQC+∠C,

∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,

∴∠BEP=∠EQC,

∴△BPE∽△CQE,

,

∵BP=a,CQ=aBE=CE,

,

∴BE=CE=,

∴AB=AC=BCsin45°=3a,

,,

Rt△APQ中,

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線交于點O,以AD為邊向外作RtADE,AED=90°,連接OE,DE=6,OE=8,則另一直角邊AE的長為_____

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【題目】閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中,若兩點P、Q的坐標(biāo)分別是P(x1,y1)、

Q(x2,y2),則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=.如P(1,2),Q(3,4),則|PQ|==2

對于某種幾何圖形給出如下定義:符合一定條件的動點形成的圖形,叫做符合這個條件的點的軌跡.如平面內(nèi)到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題:如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx+y軸于點A,點A關(guān)于x軸的對稱點為點B,過點B作直線l平行于x軸.

(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是   ;

(2)若動點C(x,y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度,求動點C軌跡的函數(shù)表達(dá)式;

問題拓展:(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點,分別過E、F作直線l的垂線,垂足分別是M、N,求證:①EF是△AMN外接圓的切線;②為定值.

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【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AGBC于點G,AFDE于點F,EAF=GAC.

(1)求證:ADE∽△ABC;

(2)若AD=3,AB=5,求的值.

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【題目】如圖,已知AB=AC,AE=AFBECF交于點D,則①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D∠BAC的平分線上,以上結(jié)論中,正確的是

A. 只有B. 只有

C. 只有D. ①②

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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx2a≠0)與x軸交于AB兩點,與y軸交于C點,直線BD交拋物線于點D,并且D23),tanDBA=

1)求拋物線的解析式;

2)已知點M為拋物線上一動點,且在第三象限,順次連接點BM、C、A,求四邊形BMCA面積的最大值;

3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下,過點M作直線平行于y軸,在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓?若存在,求出圓心Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,在ABC中,AB=AC=12cm,BC=9cm,點DAB的中點.

1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由BC點運動,同時點Q在線段CA上由C點向A點運動.

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當(dāng)經(jīng)過1秒時,BPDCQP是否全等,請判斷并說明理由;

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當(dāng)點Q的運動速度為多少時,能夠使BPD≌△CPQ?

2)若點Q以②的運動速度從點C出發(fā),點P以原來運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿ABC的三邊運動,求經(jīng)過多長時間,點P與點Q第一次在ABC的哪條邊上會相遇?

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【題目】一家商店要進(jìn)行裝修,若請甲、乙兩個裝修組同時施工,8天可以完成,需付兩組費用共3520元;若先請甲組單獨做6天,再請乙組單獨做12天可完成,需付兩組費用共3480元,問:

(1)甲、乙兩組工作一天,商店應(yīng)各付多少元?

(2)已知甲組單獨做需12天完成,乙組單獨做需24天完成,單獨請哪組,商店所付費用最少?

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A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

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