【題目】(2017甘肅省天水市)△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合,將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.
(1)如圖①,當(dāng)點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE≌△CQE;
(2)如圖②,當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時,求證:△BPE∽△CEQ;并求當(dāng)BP=2,CQ=9時BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析,.
【解析】
試題(1)由AB=AC,AP=AQ可得BP=CQ,又因BE=CE,∠B=∠C=45°,利用“SAS”判定△BPE≌△CQE;(2)連接PQ,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,所以∠BEP=∠EQC;再由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△BPE∽△CQE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,把BP=a,CQ=代入上式可求得BE=CE=,再求得,AB=AC=BCsin45°=3a,所以,,在Rt△APQ中,由勾股定理可得.
試題解析:
解:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,AB=AC,
∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中點,
∴BE=CE,
在△BPE和△CQE中,
∵,
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)解:連接PQ,
∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=45°,∵∠BEQ=∠EQC+∠C,
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,
∴∠BEP=∠EQC,
∴△BPE∽△CQE,
∴,
∵BP=a,CQ=a,BE=CE,
∴,
∴BE=CE=,
∴,
∴AB=AC=BCsin45°=3a,
∴,,
在Rt△APQ中,.
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線交于點O,以AD為邊向外作Rt△ADE,∠AED=90°,連接OE,DE=6,OE=8,則另一直角邊AE的長為_____.
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【題目】閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中,若兩點P、Q的坐標(biāo)分別是P(x1,y1)、
Q(x2,y2),則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=.如P(1,2),Q(3,4),則|PQ|==2.
對于某種幾何圖形給出如下定義:符合一定條件的動點形成的圖形,叫做符合這個條件的點的軌跡.如平面內(nèi)到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.
解決問題:如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx+交y軸于點A,點A關(guān)于x軸的對稱點為點B,過點B作直線l平行于x軸.
(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是 ;
(2)若動點C(x,y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度,求動點C軌跡的函數(shù)表達(dá)式;
問題拓展:(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點,分別過E、F作直線l的垂線,垂足分別是M、N,求證:①EF是△AMN外接圓的切線;②為定值.
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【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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【題目】如圖,已知AB=AC,AE=AF,BE與CF交于點D,則①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③D在∠BAC的平分線上,以上結(jié)論中,正確的是
A. 只有①B. 只有②
C. 只有①和②D. ①②與③
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,直線BD交拋物線于點D,并且D(2,3),tan∠DBA=.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點M為拋物線上一動點,且在第三象限,順次連接點B、M、C、A,求四邊形BMCA面積的最大值;
(3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下,過點M作直線平行于y軸,在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓?若存在,求出圓心Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=9cm,點D為AB的中點.
(1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B向C點運動,同時點Q在線段CA上由C點向A點運動.
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當(dāng)經(jīng)過1秒時,△BPD與△CQP是否全等,請判斷并說明理由;
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當(dāng)點Q的運動速度為多少時,能夠使△BPD≌△CPQ?
(2)若點Q以②的運動速度從點C出發(fā),點P以原來運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿△ABC的三邊運動,求經(jīng)過多長時間,點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上會相遇?
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【題目】一家商店要進(jìn)行裝修,若請甲、乙兩個裝修組同時施工,8天可以完成,需付兩組費用共3520元;若先請甲組單獨做6天,再請乙組單獨做12天可完成,需付兩組費用共3480元,問:
(1)甲、乙兩組工作一天,商店應(yīng)各付多少元?
(2)已知甲組單獨做需12天完成,乙組單獨做需24天完成,單獨請哪組,商店所付費用最少?
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)如圖所示,現(xiàn)有下列四個結(jié)論:①abc>0 ②b2-4ac<0 ③c<4b ④a+b>0.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 1個 B. 3個 C. 2個 D. 4個
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