Question

在四邊形ABCO中，∠AOC=∠OCB=90°，AO=2，OC=8，CB=8
（1）求線段AB長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)P為直線AO上一點(diǎn)，且△PAB為等腰三角形，則線段OP長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線，直接運(yùn)用勾股定理來解答即可解決問題．
（2）如圖2，作輔助線，按照分類討論的數(shù)學(xué)思想，分AB為底或腰來逐一解析，問題即可解決．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥BC，

則四邊形AOCD為矩形，
∴AD=OC=8，DC=AO=2，
∴BD=BC-CD=6；由勾股定理得：
AB²=AD²+BD²=64+36=100，
∴AB=10．

（2）如圖2，點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上，且AB為等腰△PAB的底，過P做PQ⊥AB于點(diǎn)Q；

則AQ=BQ=

1

2

AB=5；
∵∠AOC=∠OCB=90°，
∴AO∥BC，∠PAQ=∠ABD，
∴△PAQ∽△ABD，
∴PA：AB=AQ：BD，而AB=10，AQ=5，BD=6，
∴PA=

25

3

，OP=2+

25

3

=

31

3

．
若AB為等腰△PAB的腰，則PA=AB或PB=AB；
若PA=AB，則：
①當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，
OP=10+2=12；
②當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，
OP=10-2=8；
若PB=AB，如圖3，過點(diǎn)B作BQ⊥PA，
則AQ=BQ；而四邊形ADBQ為矩形，
∴AQ=BD=6，
∴OP=12+2=14，
故答案為

31

3

，8，12，14．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．