Question

【題目】已知：如圖：在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，等腰Rt△DEF中，∠FDE=，DE=3cm。動點D、E始終在邊AB上，當點D從A點沿AC方向移動。

（1）在Rt△DEF沿AC方向移動的過程中，F，C兩點之間的距離逐漸_______。（填“不變“變大”或“變小”）

（2）當F、C連線與AB平行時，求AD的長。

（3）以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形時，求AD的長

Answer 1

【答案】（1）變小；（2）;（3）AD=6.7cm或4.2cm.

【解析】

（1）根據題意可知：DF=3cm，DC逐漸變小，再根據勾股定理即可判斷；

（2）根據30°所對的直角邊是斜邊的一半和平行線的性質，可得：AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°，再根據銳角三角函數求出CD，從而求出AD；

（3）設AD=x，根據題意可知：0＜x≤10－3=7，則CD= AC－AD=10－x，再根據勾股定理可得：FC=，然后根據直角三角形斜邊的情況分類討論，最后利用勾股定理分別求出每種情況中x的值即可.

解：（1）根據題意可知：DF=DE=3cm，DC逐漸變小，

根據勾股定理可得：FC=

∴F，C兩點之間的距離逐漸變小，

故答案為：變�。�

（2）如下圖所示，FC∥AB

∵∠B=90°，∠A=30°，BC=5cm，

∴AC=2BC=10cm，∠FCD=∠A=30°

在Rt△CFD中，CD=cm

∴AD=AC－CD=；

（3）設AD=x，根據題意可知：0＜x≤10－3=7，則CD= AC－AD=10－x

根據勾股定理可得：FC=

①若AD為斜邊時，

∴AD2=FC2+BC2

∴

解得：；

②若FC為斜邊時，

∴FC2= AD2 +BC2

∴

解得：；

③若BC為斜邊時，

∴BC2= AD2 + FC2

∴

整理得：

∵

∴此方程無解.

綜上所述：AD=6.7cm或4.2cm.