Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB的解析式為y=x+1，A、B兩點(diǎn)分別在y軸和x軸上，C點(diǎn)是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）過A、C、O三點(diǎn)的⊙O′交x軸于另一點(diǎn)D．求證：AD=

2

CO；
（2）若弧AC，弧CO，弧OD的弧長之比為2：3：1，求扇形O′CmO的面積；
（3）當(dāng)⊙O′與x軸相切時(shí)，過O、C的兩點(diǎn)的⊙O″交線段BC于點(diǎn)H（異于B、C兩點(diǎn)），又另交OB、OA于M、N兩點(diǎn)．求

AN+OM

O′O″

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A（0，1），B（-1，0），則可判斷△OAB為等腰直角三角形，所以∠BAO=45°，再根據(jù)圓周角定理得∠CO′O=2∠CAO=90°，于是得到△O′OC為等腰直角三角形，所以O(shè)′O=

2

2

OC，
由于∠AOD=90°，根據(jù)圓周角定理得AD為⊙O′的直徑，則AD=2O′O=

2

OC；
（2）作OQ⊥AB于Q，由AD為⊙O′的直徑得到

AMD

為半圓，利用圓心角、弧和弦的關(guān)系得∠AO′C、∠CO′O、∠OO′D的度數(shù)之比為2：3：1，則∠AO′C=60°，∠CO′O=90°，∠OO′D=30°，在根據(jù)圓周角定理得∠OAD=

1

2

∠OO′D=15°，所以∠BAD=60°，設(shè)BQ=t，則DQ=t，在Rt△ADQ中AQ=

3

3

x，AD=

2 3

3

x，利用BQ+AQ=AB=

2

得x+

3

3

x=

2

，解得x=

3 2 - 6

2

，計(jì)算出AD=

6

-

2

，則半徑O′O=

6 - 2

2

，然后根據(jù)扇形的面積公式求解；
（3）連OH、HM，由切線的性質(zhì)得O′O⊥x軸，則OA為⊙O′的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ACO=90°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OC=AC=

1

2

AB=

2

2

，且OH為⊙O″的直徑，則點(diǎn)O″為OH的中點(diǎn)，于是可判定O′O″為△OAH的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得AH=2O′O″；然后由OH為⊙O″的直徑得∠HMO=90°，可判斷△BHM為等腰直角三角形，再進(jìn)行計(jì)算得BM=

2

2

BH=

2

2

（AB-AH）=

2

2

（

2

-2O′O″）=1-

2

O′O″，則OM=OB-BM=

2

O′O″，
根據(jù)切割線定理得AN•AO=AC•AH，可得AN=

2

2

AH=

2

2

•2O′O″=

2

O′O″，于是可計(jì)算出

AN+OM

O′O″

=2

2

．

解答：（1）證明：把x=0代入y=x+1得y=0；把y=0代入y=x+1得x+1=0，解得x=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠CO′O=2∠CAO=90°，
而O′C=O′O，
∴OC=

2

O′O，即O′O=

2

2

OC，
∵∠AOD=90°，
∴AD為⊙O′的直徑，
∴AD=2O′O=2×

2

2

OC=

2

OC；

（2）解：作DQ⊥AB于Q，如圖1，
∵AD為⊙O′的直徑，
∴

AMD

為半圓，
∵弧AC，弧CO，弧OD的弧長之比為2：3：1，
∴∠AO′C、∠CO′O、∠OO′D的度數(shù)之比為2：3：1，
∴∠AO′C=60°，∠CO′O=90°，∠OO′D=30°，
∴∠OAD=

1

2

∠OO′D=15°，
∴∠BAD=45°+15°=60°，
設(shè)BQ=t，則DQ=t，
在Rt△ADQ中，∠ADQ=30°，
∴AQ=

3

3

x，AD=

2 3

3

x，
而BQ+AQ=AB=

2

，
∴x+

3

3

x=

2

，解得x=

3 2 - 6

2

，
∴AD=

2 3

3

•

3 2 - 6

2

=

6

-

2

，
∴O′O=

6 - 2

2

，
∴扇形O′CmO的面積=

90•π•( 6 - 2 2 )2

360

=

2- 3

4

π；

（3）解：連OH、HM，如圖2，
∵△OAB為等腰直角三角形，OA=OB=1，
∴∠ABO=45°，AB=

2

，
∵⊙O′與x軸相切，
∴O′O⊥x軸，即O′點(diǎn)在y軸上，
∴OA為⊙O′的直徑，
∴∠ACO=90°，
∴OC=AC=

1

2

AB=

2

2

，
∴OH為⊙O″的直徑，
∴點(diǎn)O″為OH的中點(diǎn)，
∴O′O″為△OAH的中位線，
∴O′O″=

1

2

AH，即AH=2O′O″，
∵OH為⊙O″的直徑，
∴∠HMO=90°，
∴△BHM為等腰直角三角形，
∴BM=

2

2

BH=

2

2

（AB-AH）=

2

2

（

2

-2O′O″）=1-

2

O′O″，
∴OM=OB-BM=1-（1-

2

O′O″）=

2

O′O″，
∵AN•AO=AC•AH，
∴AN•1=

2

2

•AH，
∴AN=

2

2

AH=

2

2

•2O′O″=

2

O′O″，
∴

AN+OM

O′O″

=

2 O′O″+ 2 O′O″

O′O″

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)、切割線定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．