Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是x＝﹣且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．

（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）拋物線上有一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①B（1，0）；②y＝x2x+2；（2）△PAC的面積有最大值是4，P（﹣2，3）；（3）M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）

【解析】

（1）①先根據(jù)直線的解析式求出A,C的坐標(biāo)，再利用拋物線的對(duì)稱軸即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②將拋物線的解析式設(shè)成兩點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，設(shè)，則Q（m，m+2），表示出PQ，然后利用求解即可；

（3）以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有或，設(shè)，則，分別利用勾股定理求出AC,BC的長(zhǎng)度，然后建立關(guān)于t的方程求解即可．

解：（1）①令，則，解得，令，則，

∴．

∵拋物線的對(duì)稱軸為 ，

，

；

②∵拋物線y＝ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+4）（x﹣1）．

又∵拋物線過點(diǎn)C（0，2），

∴2＝﹣4a

∴a＝

∴y＝x2x+2．

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，

設(shè)，則Q（m，m+2），

∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，△PAC的面積有最大值是4．

當(dāng)m＝﹣2時(shí)，，

∴此時(shí)P（﹣2，3）．

（3）

∴以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則有或

∵

設(shè)，則

若，則

解得或，

此時(shí)M的坐標(biāo)為或 ；

若，則

解得或，

此時(shí)M的坐標(biāo)為或 ；

綜上所述，M的坐標(biāo)為M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）．