Question

【題目】（1）如圖1，四邊形ABCD為正方形，BF⊥AE，那么BF與AE相等嗎？為什么？

（2）如圖2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點，BE⊥AD于點E，交AC于F，求AF：FC的值；

（3）如圖3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點，BE⊥AD于點E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF．

Answer 1

【答案】（1）BF=AE，理由見詳解 （2）AF：FC=2：1 （3）CF=．

【解析】

(1)先判斷出AB=AD，再利用同角的余角相等，判斷出∠ABF=∠DAE，進而得出△ABF△DAE，即可得出結(jié)論；

（2）構(gòu)造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，進而得出CG=AB，再判斷出△AFB∽△CFG，即可得出結(jié)論；

（3）先構(gòu)造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，進而判斷出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判斷出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出結(jié)論．

解：（1）BF=AE，理由：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，

∴∠BAE+∠DAE=90°；

∵AE⊥BF，

∴∠BAE+∠ABF=90°，

∴∠ABF=∠DAE；

在△ABF和△DAE中,

，

∴△ABF△DAE，

∴BF=AE．

(2)如圖2：

過點A作AM‖BC, 過點C作CM‖AB,兩線相較于M，延長BF交CM于G，

∴四邊形ABCM是平行四邊形，

∵∠ABC=90°，

∴平行四邊形ABCM是矩形，

∵AB=BC，

∴矩形ABCM是正方形，

∴AB=BC=CM；

同（1）的方法得，△ABD△CBG，

∴CG=BD；

又∵D為BC邊的中點，

∴BD=BC=CM，

∴CG=CMAB；

∵AB‖CM，

∴△AFB△CFG，

∴==2．

(3)如圖3：

在Rt△ACB中，AB＝3，BC＝4，

∴AC=5，

∵點D是BC的中點，

∴BD=BC=2；

過點A作AN‖BC, 過點C作CN∥AB,兩線相較于N，延長BF交CN于P，

∴四邊形ABCN是平行四邊形，

∵∠ABC=90°，

∴平行四邊形ABCN是矩形，

同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，

∵∠ABD=∠BCP=90°，

∴△ABD△BCP，

∴=，

∴=，

∴CP=；

同（2）的方法得：△CFP△AFB,

∴=，

∴=，

∴CF=．