Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸上的B、C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD交x軸于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求∠DCB的正切值；

（3）如果點(diǎn)F在y軸上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），D（4，1）；（2）；（3）點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣18）．

【解析】

（1）y＝x﹣3，令y＝0，則x＝6，令x＝0，則y＝﹣3，求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，即可求解；

（2）求出則點(diǎn)E（3，0），EH＝EBsin∠OBC＝，CE＝3，則CH＝，即可求解；

（3）分點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可．

（1）y＝x﹣3，令y＝0，則x＝6，令x＝0，則y＝﹣3，

則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，﹣3），則c＝﹣3，

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線y＝﹣x2+bx﹣3得：0＝﹣×36+6b﹣3，解得：b＝2，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x﹣3，令y＝0，則x＝6或2，

即點(diǎn)A（2，0），則點(diǎn)D（4，1）；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC交于點(diǎn)H，

C、D的坐標(biāo)分別為：（0，﹣3）、（4，1），

直線CD的表達(dá)式為：y＝x﹣3，則點(diǎn)E（3，0），

tan∠OBC＝，則sin∠OBC＝，

則EH＝EBsin∠OBC＝，

CE＝3，則CH＝，

則tan∠DCB＝；

（3）點(diǎn)A、B、C、D、E的坐標(biāo)分別為（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），

則BC＝3，

∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，

tan∠DBE＝＝，

故：∠DBE＝∠OBC，

則∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，

①當(dāng)點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸時(shí)，

過點(diǎn)F作FG⊥BG交BC的延長線與點(diǎn)G，

則∠GFC＝∠OBC＝α，

設(shè)：GF＝2m，則CG＝GFtanα＝m，

∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，

即：3+m＝2m，解得：m＝3，

CF＝＝m＝15，

故點(diǎn)F（0，﹣18）；

②當(dāng)點(diǎn)F在y軸正半軸時(shí)，

同理可得：點(diǎn)F（0，1）；

故：點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣18）．