Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=16，D在邊BC上，BD=6，AD⊥DE交AC于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）填空：圖中相似三角形有

 

；
（2）求線段FC的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)D的直線分別交直線AB、線段AE于G、H，是否存在這樣的直線，使△AGH與△CDH相似？若存在，求AG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形即可判斷出有兩對(duì)相似三角形．
（2）設(shè)出線段FC、EF的長(zhǎng)度，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出兩對(duì)比例式，進(jìn)而構(gòu)造出了兩個(gè)方程，解方程組即可解決問題．
（3）經(jīng)比較、分析，若△AGH與△CDH相似，只有△AGH∽△DCH；利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖，
∵∠B=90°，AD⊥DE，EF⊥BC，
∴∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠EDF，
∴∠BAD=∠EDF，而∠B=∠EFD，
∴△ABD∽△DFE；
又∵∠B=∠EFD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△EFC；
故答案為：△ABD∽△DFE，△ABC∽△EFC．

（2）∵BC=16，BD=6，
∴DC=16-6=10；
設(shè)FC=x，EF=y，則DF=10-x；
∵由（1）知△ABD∽△DFE，
∴

AB

DF

=

BD

EF

，即

8

10-x

=

6

y

，
∴4y=30-3x①；
又∵由（1）知△ABC∽△EFC，
∴

AB

EF

=

BC

CF

，即

8

y

=

16

x

，
∴2y=x②；
聯(lián)立①、②并解得x=6，y=3，
故線段FC的長(zhǎng)為6．
                                                              
（3）存在這樣的直線GH，使△AGH與△CDH相似；
∵∠DHC＞∠GAH，
∴若△AGH與△CDH相似，必有∠EDH=∠BAH，
此時(shí)，A、B、D、H四點(diǎn)公圓；
∴∠AHD=180°-∠ABD=90°，
即GH⊥AC；
∴當(dāng)GH⊥AC時(shí)，△AGH∽△DCH；
∵GH⊥AC，∠B=90°，
∴∠G+∠BAH=∠C+∠BAH，
∴∠G=∠C；
又∵∠GBD=∠CBA，
∴△BGD∽△CBA，
∴

BG

BC

=

BD

AB

，即

BG

16

=

6

8

，
∴BG=12，AG=8+12=20，
即AG的長(zhǎng)為20．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出相似三角形，靈活運(yùn)用性質(zhì)解題．