Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°， D是AB邊上一點，且DB=DC，過BC上一點P（不包括B，C二點）作PE⊥AB，垂足為點E， PF⊥CD，垂足為點F，已知AD：DB=1：4，BC= ，求PE+PF的長.

Answer 1

【答案】4

【解析】結合已知AD：DB=1：4，BC= ，應用勾股定理求出AC的長，連接PD，根據(jù)S△PBD+S△PCD=S△BCD，可得BDPE+DCPF=BDAC，繼而得到PE+PF=AC即可得.

∵AD：DB=1：4，

∴設AD=n，BD=4n，

∴AB=5n，

∵DB=DC，∴DC=4n，

∵∠A=90°，∴AC2=DC2-AD2=15n2，AB2+AC2=BC2，

∵BC=4，

∴（5n）2+15n2=，

∴n2=，∴AC==，

連接PD，PD把△BCD分成兩個三角形△PBD，△PCD，

∵PE⊥AB ，PF⊥CD，AC⊥BD，

∴S△PBD=BDPE，

S△PCD=DCPF，

S△BCD=BDAC，

∵S△PBD+S△PCD=S△BCD，

∴BDPE+DCPF=BDAC，

∵DB=DC，

∴PE+PF=AC=.