Question

如圖，已知直線AB：與拋物線交于A、B兩點，

（1）直線AB總經(jīng)過一個定點C，請直接寫出點C坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；

（3）若在拋物線上存在定點D使∠ADB＝90°，求點D到直線AB的最大距離.

 

 

Answer 1

（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1， ）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）要求定點的坐標(biāo)，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關(guān)即可．

（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點A、B的坐標(biāo)．設(shè)出點P的橫坐標(biāo)為a，運用割補法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進而求出點P的坐標(biāo)．

（3）設(shè)點A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點D的坐標(biāo)．由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．

試題解析：（1）∵當(dāng)x=-2時，,

∴直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點（-2，4）．

∴點C的坐標(biāo)為（-2，4）．

（2）∵，

∴直線AB的解析式為．

聯(lián)立 ，解得： 或．

∴點A的坐標(biāo)為（-3，），點B的坐標(biāo)為（2，2）．

如答圖1，過點P作PQ∥y軸，交AB于點Q，過點A作AM⊥PQ，垂足為M，過點B作BN⊥PQ，垂足為N．

設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則點Q的橫坐標(biāo)為a．

∴．

∵點P在直線AB下方，∴.

∵，

∴，

整理得：，解得：．

當(dāng)時，．此時點P的坐標(biāo)為（-2，2）．

當(dāng)a=1時，．此時點P的坐標(biāo)為（1， ）．

∴符合要求的點P的坐標(biāo)為（-2，2）或（1， ）．

（3）如答圖2，過點D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．

∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．

∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．

設(shè)點A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，

則點A、B、D的縱坐標(biāo)分別為，

∴．

∴，化簡得：．

∵點A、B是直線AB：與拋物線交點，

∴m、n是方程即兩根．∴．

∴，即，即.

∴（舍）．

∴定點D的坐標(biāo)為（2，2）．

如答圖3，過點D作x軸的平行線DG，

過點C作CG⊥DG，垂足為G，

∵點C（-2，4），點D（2，2），∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．

∵CG⊥DG，∴．

過點D作DH⊥AB，垂足為H，如答圖3所示，

∴DH≤DC．∴DH≤．

∴當(dāng)DH與DC重合即DC⊥AB時，

點D到直線AB的距離最大，最大值為 ．

∴點D到直線AB的最大距離為．

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2. 因式分解法解一元二次方程；3.根與系數(shù)的關(guān)系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.分類思想的應(yīng)用．