Question

如圖（Ⅰ），分別以△ABC的邊AC和BC為邊，向△ABC外作正方形ACE₁F₁和正方形BCE₂F₂，過點C作直線PQ交AB于H，使∠AHP=∠ACE₁，過E₁作E₁M⊥PQ于M，過E₂作E₂N⊥PQ于N，連接AE₁．
（1）若∠ACH=60°，CH=2cm，求AE₁的長；
（2）求證：ME₁=NE₂；
（3）若將圖（Ⅰ）中的兩個正方形改為兩個等邊三角形，過點C作直線P₁Q₁和P₂Q₂分別交AB于H₁和H₂，使∠AH₁P₁=∠ACE₁，∠BH₂P₂=∠BCE₂，同樣過E₁作E₁M⊥P₁Q₁于M，過E₂作E₂N⊥P₂Q₂于N，如圖（Ⅱ），請你猜想（2）的結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請你說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）運用特殊角的RT△AHC求出AC，再運作等腰直角三角形求出AE₁．
（2）運用△ACH≌△CE₁M得出ME₁=CH，再運用△CHB≌△CNE₂得出NE₂=CH，即可得出ME₁=NE₂
（3）過點C作CG⊥AB，垂足為點G，可證得△ACG≌△CE₁M，得出CG=E₁M，再運用△CGH₁≌△CNE₂得出CG=E₂N，即可得出ME₁=NE₂結(jié)論是成立．

解答：解：（1）∵∠AHP=∠ACE₁=90°，
∴△AHC是直角三角形，
∵∠ACH=60°，CH=2cm，
∴AC=4cm，
∵四邊形ACE₁F₁是正方形，
∴AE₁=

2

AC=4

2

cm，
（2） 證明：如圖（Ⅰ），

∵∠ACE₁=90°，
∴∠ACH+∠E₁CM=180°-90°=90°，
∵∠AHM=∠ACE₁=90°，
∴∠ACH+∠HAC=90°，
∴∠E₁CM=∠HAC，
在△ACH和△CE₁M中，

∠AHC=∠CME1 ∠AHC=∠CME1 AC=CE1

∴△ACH≌△CE₁M（AAS），
∴ME₁=CH，
同理可證NE₂=CH，
∴ME₁=NE₂；
（3）ME₁=NE₂成立．
證明：如圖（Ⅱ），過點C作CG⊥AB，垂足為點G，

∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠E₁CM+∠ACH₁+∠ACE₁=180°，
∵∠AH₁P₁=∠ACE₁
∴∠H₁AC=∠E₁CM，
在△ACG和△CE₁M中，

∠CGA=∠E1MC ∠GAC=∠E1CM AC=CE1

，
∴△ACG≌△CE₁M（AAS），
∴CG=E₁M，
同理可證CG=E₂N，
∴ME₁=NE₂．
∴（2）的結(jié)論成立．

點評：本題主要考查了四邊形的綜合題，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確找準角邊的關系證明三角形全等．