Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的兩點(diǎn)，AD=CE，且AE與BD交于點(diǎn)P，BF⊥AE于點(diǎn)F．

（1）求證：△ABD≌△CAE；

（2）若BP=6，求PF的長．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，由SAS即可證明△ABD≌△CAE；

（2）由△ABD≌△CAE得出對(duì)應(yīng)角相等∠ABD=∠CAE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠BPF=60°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出PF的長．

【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

（2）解：∵△ABD≌△CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵∠BPF=∠BAP+∠ABD，

∴∠BPF=∠BAP+∠CAE=∠BAD=60°，

∵BF⊥AE，

∴∠PFB=90°，

∴∠PBF=30°，

∴PF=BP=3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．