Question

如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與點A、點B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點．
（1）如圖2，畫出矩形ABCD中的AB邊上的一個強相似點．（要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要說明）．
（2）對于任意的一個矩形，是否一定存在強相似點？如果一定存在，請說明理由；如果不一定存在，請舉出反例．

Answer 1

考點：作圖—相似變換

專題：

分析：（1）以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求；
（2）根據(jù)（1）的作法，若矩形的寬大于長的一半，則圓與另一邊沒有交點，也就不存在全相似點．

解答：解：（1）如圖所示：點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，
；

（2）由（1）可知，當(dāng)矩形的長AB＜2AD時，圓與AB沒有交點，所以AB邊上不存在這樣的全相似點E．
（答案不惟一，若學(xué)生畫圖說明也可．）

點評：本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解全相似點的定義，判斷出∠CED=90°，從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關(guān)鍵．